simple equa fonctionell

trouver f:lR---->lR satisfaisante:
f(x²-y²)=xf(x)-yf(y)

otman4u a écrit:

trouver f:lR---->lR satisfaisante:
f(x²-y²)=xf(x)-yf(y)

Jolie équation.

P(x,y) : f(x^2 - y^2)=xf(x)-yf(y)
Soit u quelconque. On peut toujours trouver x et y tels que u=x^2 - y^2.
Alors : P(x,y) ==> f(u)=xf(x)-yf(y) et P(y,x) ==> f(-u)=yf(y)-xf(x) = -f(u) et f est impaire
P(x,0) : f(x^2)=xf(x)
P(0,y) : f(-y^2)=-yf(y)
Donc f(x^2 - y^2)=f(x^2)-f(y^2)
Donc f(x-y)=f(x)-f(y) pour tous x et y positifs ou nuls
Donc, puisque f est impaire, f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous réels x et y (avec un peu de gymnastique)

Alors, f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+f(1))
Mais f((x+1)^2)=f(x^2+x+x+1)=f(x^2)+f(x)+f(x)+f(1)

L'égalité entre ces deux expressions donne f(x)=xf(1).
On vérifie que cette condition nécessaire est suffisante.

Et la solution générale est fonc f(x)=ax.

--
Patrick

bonne réponse Mr pco.
pour moi je l'ai fais autrement:
f(x²)=xf(x),avec (x=f(x)) ,f(x²-y²)=f(x²)-f(y²)
f(V(x²+y²)²-y²)=f(x²+y²)-f(y²)=f(x²) , f(x²+y²)=f(x²)+f(y²)
2xyf(2xy)=f(4x²y²)=f[(x²+y²)²-(x²-y²)]=2xy(xf(y)+yf(x))
avec y=1/2 , on trouve f(x)=2xf(1/2)->f(1)=2f(1/2) d'ou f(x)=xf(1)
.......................................
ou encore:(j suis tt a fait pas sur!!!j'attend votre protestation pour mieux comprendre)
f(x²)=xf(x),avec (x=f(x)) => f(x²)=f(x)²=xf(x)
f est impaire et f(0)=0,alors on peut etudier f dans ]0,+00[
f(x)=Vxf(Vx) on multuplie par f(x) ,f(x)²=Vxf(Vx)f(x) <=> xf(x)=Vxf(x)f(Vx)
f(Vx)=Vx , d'ou f(x)=x,,,???

otman4u a écrit:

pour moi je l'ai fais autrement:
f(x²)=xf(x),avec (x=f(x)) ,f(x²-y²)=f(x²)-f(y²)
f(V(x²+y²)²-y²)=f(x²+y²)-f(y²)=f(x²) , f(x²+y²)=f(x²)+f(y²)
2xyf(2xy)=f(4x²y²)=f[(x²+y²)²-(x²-y²)]=2xy(xf(y)+yf(x))
avec y=1/2 , on trouve f(x)=2xf(1/2)->f(1)=2f(1/2) d'ou f(x)=xf(1)

Oui, c'est plus direct que ma méthode (pas besoin de montrer l'imparité).
Bravo

otman4u a écrit:

bonne réponse Mr pco.
ou encore:(j suis tt a fait pas sur!!!j'attend votre protestation pour mieux comprendre)
f(x²)=xf(x),avec (x=f(x)) => f(x²)=f(x)²=xf(x)
...

Non, cela est faux. Je ne vois pas d'où vous tirez f(x^2)=f(x)^2 (qui est faux)

--
Patrick