- otman4u a écrit:
trouver toutes f:lR-->lR monotones ,telle que pour tous réél x :
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)=4x+3
Bonjour otman4u,
Comme souvent, je suis étonné de la complexité de tels sujets. Ils ne me semblent pas du niveau olympiade.
Sur ce sujet lui-même, je ne suis pas arrivé à le résoudre complètement. Il y a clairement une infinité de solutions. J'en propose ci-dessous une partie mais je suis très intéressé par la solution complète et générale. Merci de la donner.
Une famille de solutions :
Soit p(x) telle que p(x+1)=p(x) et x+p(x) soit une bijection croissante de R dans R (par exemple p(x)=c, ou p(x) = sin(2pi x)/(2pi), ...)
Soit alors h(x)=x+p(x) et k(x)=h^(-1) (x) la réciproque de h(x).
Alors f(x)=k(1+h(x)) est solution au problème :
a) h(x) est croissante, donc k(x) aussi, et f(x) est bien monotone de R dans R
b) f(x)=k(1+h(x)) ==> f(f(x))=k(2+h(x)) ==> f(f(f(x)))=k(3+h(x))
Il faut donc vérifier que k(3+h(x))-3k(2+h(x))+6k(1+h(x))=4x+3
Ou encore, puisque k et h sont des bijections de R dans R :
k(x+3)-3k(x+2)+6k(x+1)=4k(x)+3
Or, p(x+1)=p(x) ==> h(x+1)=h(x)+1 ==> x+1=k(h(x)+1) ==> k(x+1)=k(x)+1
Donc k(x+1)-k(x)=1
Donc (k(x+3)-k(x+2))-2(k(x+2)-k(x+1))+4(k(x+1)-k(x))=1-2+4=3
Donc k(x+3)-3k(x+2)+6k(x+1)-4k(x)=3 CQFD
Exemples :
1) p(x)=c ==> h(x)=x+c et k(x)=x-c et donc f(x)=x+1, la solution polynomiale évidente
2) p(x)=a*sin(2pi x) avec |a|<= 1/(2pi) ==> h(x)=x+a*sin(2pi x) et f(x)=h^(-1)(h(x)+1)
3) p(x)=(a-1/2)(1-|2{x}-1|) avec a quelconque dans ]0,1[ et {x}=x-[x] désignant la partie fractionnaire de x
Alors on a h(x)=x+(a-1/2)(1-|2{x}-1|)
Il est facile de montrer que la réciproque de h(x) est :
k(x)=[x]+{x}/(4a(1-a))+(|{x}-a|-a)(2a-1)/(4a(1-a))
Et on a une autre famille de solutions continues :
f(x)=k(1+h(x))
f(x)=[x+a+1/2-(a-1/2)|2{x}-1|]+{x+a+1/2-(a-1/2)|2{x}-1|}/(4a(1-a))+(|{x+a+1/2-(a-1/2)|2{x}-1|}-a|-a)(2a-1)/(4a(1-a))
A noter dans cet exemple :
a) a=1/2 donne f(x)=x+1
b) on a une famille de solutions continues avec forme close
c) on aborde une infime partie des solutions.
J'insiste donc dans mon étonnement devant la complexité de ce problème (sauf à ce que la solution soit sous forme constructive)
Merci, donc, otman4u, de nous donner ta solution générale à ce problème.
--
Patrick
Accueil 
