| problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) | |
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+6salmonella- aissa khamaths mni radouane_BNE samir 10 participants |
Auteur | Message |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Lun 09 Juil 2007, 20:06 | |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Lun 09 Juil 2007, 20:08 | |
| salut chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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Invité Invité
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Lun 09 Juil 2007, 20:49 | |
| solution postéé ( je la rédige et je l'envoie après ) solution non reçue (administration) |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Lun 09 Juil 2007, 21:54 | |
| Salut Tout Le Monde. Solution Postée.
voici la solution de boukharfane radouane On pose A=rac (14…4) où 4 parait n fois.
Une petite remarque montre que pour n=2 et n=3 le nombre mentionné appartient à IN.
Montrons par l’absurde que pour tout n>=4, A n’appartient pas à IN.Supposons donc que le nombre 144..4(4 parait n fois) est un carré parfait, donc il existe un m de IN tel que on a :
14…4(4 parait n fois)=m², d’où m est paire, c’est-à-dire m=2n (n £ IN), d’où
14…4(4 parait n fois)=4n² =>361…1(1 parait n-2 fois)=n²
D’autre part on a : 361…1(1 parait n-2 fois)=3(mod4), cepandant :
On a x=0, 1,2 ,3(mod4) =>x²=0,1(mon4), contradiction. | |
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mni Maître
Nombre de messages : 218 Age : 32 Localisation : casa Date d'inscription : 30/05/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Mar 10 Juil 2007, 16:38 | |
| slt tt le monde solution posté voici la solution de mni A=rac(1-44444…-n fois) Pour que A£N Il faut que B=1-44444…-n fois soit un carré parfait B est un nombre paire pour que B soit un carré parfait il doit s’ecrire sous la forme de B=4p°2 soit p£N 1-4444..- nfois=4p°2 Si on fait la division euclidienne de 1-4444…-nfoit par 4 on aura pour les deux premier 4 36 comme quotient est alors on descendant les autres 4 on aura ajouter un 1 pres de 36 a droite donc 1-44444..-n fois /4= 36-111111…-(n-2) fois 1-4444..- nfois=4p°2 P°2=36-111111…-(n-2) fois ALORS B NEST UN CARRé PÄRFAIT SAUF SI 36-111111…-(n-2) fois SECRIT SOUS FORME DE P°2 et P£N
SI P EST PAIRE P°2=4s°2 36-111111…-(n-2) fois=4s°2 Donc 36-111111…-(n-2) fois est un multiple de 4 or 4 nadmet jamais de multiple avec un 11 comme dizaine ou 61 comme dizaine Donc il ne doit etre aucun 1 apres le 36 Ca veut dire que n-2=0 donc n=2 Et si n=2 dans ce cas on aura 36-111111…-(n-2) s’ecrit sous la forme de 4s°2 et par suite B est un carré parfait c qui veut dire que n=2 est une solution
SI P EST IMPAIRE
P°2=4n°2+4n+1 4n°2+4n+1=36-111111…-(n-2) fois 4n°2+4n=36-11111111..-(n-3)fois0
4n(n+1)= 36-11111111..-(n-3)fois0
Donc 36-111111…-(n-2)fois0 est un multiple de 4 or 4 nadmet jamais de multiple avec un 10 comme dizaine Donc il ne doit etre aucun 1 apres le 36 Ca veut dire que n-3=0 donc n=3 Dans ce cas on aura 36-11111111..-(n-3)fois0 secrit vraimment sous la forme de 4n(n+1) ce qui veut dire que B va etre un carré parfait donc n=3 est une autre solution
en reunissant le cas de paire et impaire pour p on aura que A£N sauf si n=2 ou n=3 donc S=2 ;3 ps CE SIQUE VEUT SIQUIFIER UNE ACOLADE -....-
Dernière édition par le Lun 16 Juil 2007, 17:33, édité 1 fois | |
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khamaths Maître
Nombre de messages : 98 Date d'inscription : 17/03/2006
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Mer 11 Juil 2007, 09:18 | |
| Bonjour Solution postée voici la solution de khamathsn=0 évident A= rac(14444.......4) n fois de 4
(*) pour n=1 : A= rac (14) non entier (*) Pour n=2: A = rac (144) =12 ¤ IN (*) Pour n >= 3:
A ¤ IN <===> 14444......4 = (a + 2)² ( car le chiffre de l'unité doit etre un 2 ou un <===> 14444...4 = 4(b+1)² ( a=2b puisque 14444...4 est pair et ( p² pair <==>p pair)) <===> 3611........1 = (b+1)² ( n-2 fois de 1) <====>3611.......1 = (2c+1)² ( b= 2c puisque 3611.....1 est impair ) <===> 3611.......10= 4( c²+c) ( n-3 fois de 1 ) ====> 4 / 3611.....10 et ceci n'est vrai que si les (n-3) chiffres 1 disparaissent soit n-3 = 0 i.e n= 3
Or pour n=3 : 360 = 4(c²+c) <==> c²+c=90 <==> c=9 ==> b= 18 ===> a=36 ==> A= rac (1444)=38
Conclusion: A ¤ IN <====> n=2 ou n=3 ou n=0Bonne vacances à tous . | |
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aissa Modérateur
Nombre de messages : 640 Age : 63 Localisation : casa Date d'inscription : 30/09/2006
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salmonella- Habitué
Nombre de messages : 13 Age : 32 Localisation : settat Date d'inscription : 11/07/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Jeu 12 Juil 2007, 00:09 | |
| slt tt le monde solution postée bonne vaconces et bon plage
voici la solution de salmonella La reponse c¡¯est n=2et3
A=¡Ì144=12
A=¡Ìa444= | |
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abdellatif Féru
Nombre de messages : 42 Age : 35 Date d'inscription : 15/06/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Jeu 12 Juil 2007, 14:48 | |
| slt Sammir solution postee
voici la solution d'abdelatif Pour n=2 ou n=3 on a A€ N On suppose qu il existe un n >=4 tel que A€ N Donc il existe un nombre naturel m tel que : A=m Alors : m²=144….4(n fois) m² est paire donc m et paire alors 14 …….4=(2x)²/x€N Alors : 144….4/4=x² Donc : 3611……1(n-2 fois)=x² x² est impaire donc x et impaire et x=2K+1/ K€N Alors 3611…1(n-2 fois)=4K²+4K+1 Donc :3611…10=4K(4k+1) Alors 361…10/4=K(4K+1) €N Et on sait que les nombre finirent par 10 n admet pas la division par quatre Donc il n existe aucun nombre plus ou egale 4 tel que A€ N Donc les solutions sont 2 et 3 | |
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yassine-mansouri Expert grade1
Nombre de messages : 426 Age : 33 Localisation : Tetouan Date d'inscription : 18/02/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Jeu 12 Juil 2007, 16:53 | |
| Salut tout le monde Salution postée solution non trouvée (administration) | |
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colonel Expert grade1
Nombre de messages : 498 Age : 32 Localisation : base millitaire Date d'inscription : 10/06/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Sam 14 Juil 2007, 12:07 | |
| solution postée voici la solution de colonel voila n E (0,2,3) j'ai pas reussi a trouver une methode pour le prouver . mais l'essenciel est de participer | |
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badr Expert sup
Nombre de messages : 1408 Age : 34 Localisation : RIFLAND Date d'inscription : 10/09/2006
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Sam 14 Juil 2007, 14:36 | |
| solution postee voici la solution de Badr on decomposant d'abort A a la partie decimale
A=10^n+4*sum(k=0)^(n-1) 10^k
sum(k=0)^(n-1)10^k=(10^n-1)/9
donc A=rac[10^n+4*((10^n-1)/9)]
3A=rac(10^n*13-4)
n=0======>A=1£N n=2======>A=12£N n=3======>A=38£N
donc n£{0;2;3} | |
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mni Maître
Nombre de messages : 218 Age : 32 Localisation : casa Date d'inscription : 30/05/2007
| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) Lun 16 Juil 2007, 17:27 | |
| slt samir enfaite jai oublier le cas B est imppaire ce ki va me donner 0 comme autre solution demontration B ne peut etre impâire que si n=0 dans ce cas on aura B est un carré parfait parsque B=1°2 donc 0 est une autre solution | |
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| Sujet: Re: problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) | |
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| problème N°89 de la semaine (09/07/2007-15/07/2007) | |
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