une fonction equationnelle

1)Sup que f(x)=f(y) alors f(x)-y=f(x+f(y))=f(x+f(x))=f(x)-x donc x=y et f est injective.
2)x=y=0 alors f(f(0))=f(0) et donc f(0)=0 (f injective)
3)x=0 alors f(f(y))=-y
4) Posons y=f(t) alors f(x+f(y))=f(x+f(f(t))=f(x-t)=f(x)-y=f(x)-f(t) Donc f est de Cauchy ie f(x)=f(1)x
5) En reportant cette fonction dans l'équation initiale on trouve après calcul f(1)^2=-1 impossible.
Donc une telle fonction n'existe pas.