integral

calculer l'intégrale de 0 à 1 de (t^n)*(racine(1-t)) dt

Je propose deux solutions qui risquent d'aboutir à un résultat très drôle :

Avec la méthode de Aissa, le changement de variable u=sqrt(1-t) donne :

int(t^n*sqrt(1-t), t=0..1) = int([1-u^2]^n * u * 2udu, u=0..1)

Puis, on utilise le binôme de Newton et on intervertit les symboles int et sum car on est sur une somme finie et une intégration sur un segment. Cela donne donc :

int(t^n*sqrt(1-t), t=0..1) = 2.sum((-1)^k*C(n,k) int(u^(2k+2),u=0..1), k=0..n)

ou encore en conclusion

int(t^n*sqrt(1-t), t=0..1) = 2.sum((-1)^k*C(n,k)/(2k+3), k=0..n)



Avec ma méthode, je fais un autre changement de variable qui paraît plus classique quand on voit le sqrt(1-t), c'est de poser t=[sin(u)]^2 afin d'éliminer la racine. on se ramène alors à une intégrale de Wallis classique :

int(t^n*sqrt(1-t), t=0..1) = int(2(sinu)^(2n+1)cos²u, u=0..pi/2)
int(t^n*sqrt(1-t), t=0..1) = 2(W_(2n+1)-W(2n+3))

avec W_n = int((cosu)^n, u=0..pi/2) (intégrale de Wallis)

j'en déduis donc indirectement que :

W_(2n+1)-W(2n+3) = sum((-1)^k*C(n,k)/(2k+3), k=0..n)

Joli non? (ou faux lol)

lol on peut poser Un=int_{0^1}rac(1-t)t^ndt
par ipp on trouve :
Un={2n}U(n-1)/{2n+3}
d'ou par reccurence trivial on a Un=2^{n}n!/[(2n+3)(2n+1)(2n-1)...3]
ou bien Un=(4^{n+1})(n!)(n+1)!/(2n+3)! sauf erreure de calcul
et maintenat on peut deduire l identité annoncée par pelikano


(s.e) bizarre !

Voila Mr aissa , c'est jolie Selfrespect et pelikano , encore trouver cette integral en fonction de la fct Gamma (valeurs)

lool
est ce que tu peux nous donner une piste !

merçi

pour a >0 on note Gamma(a) =G(a)=int( 0 à +00)t^(a-1)exp(-t)dt

je pose Un=int(0 à 1) t^n*rac(1-t)dt , Mq Un=2n*Un-1 -2(n+1)Un ,aussi rac(1-t)=(1-t)/rac(1-t)