exo

slt

Est-il vrai que quand x^n-1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou –1 n’apparaît comme coefficient dans l’un quelconque des facteurs ?

déja on sait que x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+...+1)
premier cas: n pair
si x^(n-1)+...+1 a pour racine -1 (n-1 impaire)
alors x^(n-1)+...+1=(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
et pour tout xde IR (x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)>0
donc x^n-1=(x-1)(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
deuxieme cas:n impair(n=2k+1)
donc x^(n-1)+...+1=x^2k+x^(2k-1)+..+1
=x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)+1
on sait aussi que x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1>0

donc x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)+1=0<=>x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)=-1 et 0=<x=<1
cependant pour x=0 ==>x^(n-1)+...+1=1>0
et pour x=1 ==>x^(n-1)+...+1=n>0

ps ; il est aussi important à noter que f(x)=x^(n-1)+...+1 est strictement croissante dans IR+

ainsi x^(n-1)+...+1=0 n admet aucune solution dans IR


donc x^n-1=(x-1)(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
ou x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+...+1)
selon les valeur de n

====>quand x^n-1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou –1 n’apparaît comme coefficient dans l’un quelconque des facteurs

si cest juste bien sur

o0aminbe0o a écrit:

déja on sait que x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+...+1)
premier cas: n pair
si x^(n-1)+...+1 a pour racine -1 (n-1 impaire)
alors x^(n-1)+...+1=(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
et pour tout xde IR (x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)>0
donc x^n-1=(x-1)(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
deuxieme cas:n impair(n=2k+1)
donc x^(n-1)+...+1=x^2k+x^(2k-1)+..+1
=x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)+1
on sait aussi que x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1>0

donc x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)+1=0<=>x(x+1)(x^(2k-2)+x^(2k-4)+..+1)=-1 et 0=<x=<1
cependant pour x=0 ==>x^(n-1)+...+1=1>0
et pour x=1 ==>x^(n-1)+...+1=n>0

ps ; il est aussi important à noter que f(x)=x^(n-1)+...+1 est strictement croissante dans IR+

ainsi x^(n-1)+...+1=0 n admet aucune solution dans IR


donc x^n-1=(x-1)(x+1)(x^(n-2)+x^(n-4)+...+1)
ou x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+...+1)
selon les valeur de n

====>quand x^n-1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou –1 n’apparaît comme coefficient dans l’un quelconque des facteurs

si cest juste bien sur

c est faux?

o0aminbe0o a écrit:

c est faux?

yep

pk? où est l 'erreur?

o0aminbe0o a écrit:

pk? où est l 'erreur?

erreur de logik je crois , dsl pr te dire ça mé ton raisonnement est fo ( la méthode et le résultat)

si si ,je pense qu elle est juste , la seule erreur que jai commise cest que pour la deuxieme partie , il faut etudier la fonction x-->x^(n-1)+...+1 pout tout -1<x<0
mais on trouve tjr x^(n-1)+...+1 >0

à moins de trouver un fichu contre exemple!