inégalité

Soient x,y,z trois réelles strictement positifs tels que xy+yz+zx=3
Démontrer que

on pose : a=xy et b=yz et c=xz

donc : x²=ac/b et y²=ab/c et z²=bc/a et notre inégalité devien :

S = a²/(bc+a) + b²/(ac+b) + c²/(ab+c) >= 3/2 tel que : a+b+c = 3

d'aprés Cauchy-Shwartz :

S * [ (a+bc)+(ac+b)+(ab+c)] >= (a+b+c)²

<=> S*(3+ab+bc+ca) >= 9 <=> S >= 9/(3+ab+bc+ca)

et on a : (a+b+c)²/3 >= ab+bc+ca <=> 3 >= ab+bc+ca

d'ou S >= 9/(3+3) <=> S >= 3/2