samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: inégalité Ven 20 Juil 2007, 23:19 | |
| Soient x,y,z trois réelles strictement positifs tels que xy+yz+zx=3Démontrer que _________________ وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
| |
|
Conan Expert sup
Nombre de messages : 1722 Age : 33 Localisation : Paris Date d'inscription : 27/12/2006
| Sujet: Re: inégalité Sam 21 Juil 2007, 00:04 | |
| on pose : a=xy et b=yz et c=xz donc : x²=ac/b et y²=ab/c et z²=bc/a et notre inégalité devien : S = a²/(bc+a) + b²/(ac+b) + c²/(ab+c) >= 3/2 tel que : a+b+c = 3 d'aprés Cauchy-Shwartz : S * [ (a+bc)+(ac+b)+(ab+c)] >= (a+b+c)² <=> S*(3+ab+bc+ca) >= 9 <=> S >= 9/(3+ab+bc+ca) et on a : (a+b+c)²/3 >= ab+bc+ca <=> 3 >= ab+bc+ca d'ou S >= 9/(3+3) <=> S >= 3/2 | |
|