1° Exo Olympiade Vietnam 2007

Etant donné des réels a_1,a_2,.........,a_n on definit pour tout i tel que
1<=i<=n d_i=max{a_k / 1<=k<=i}-min{a_k / i<=k<=n}.
Soit d=max{d_i / 1<=i<=n}
a) Montrer que pour tout réels x_1<=x_2<=.......<=x_n:
max{ Valeur absolue(x_i-a_i) / 1<=i<=n}>=d/2.

b) Montrer qu'il existe x_1<=x_2<=.......<=x_n:
max{ Valeur absolue(x_i-a_i) / 1<=i<=n}=d/2.


C'est le premier Exo et il est facile!
Bonne chance.

(rq:vs avez oubliez de dir ke x1<=x2<=....<=xn)
A) on peut definir le nombre d d'une autre maniere:
d=max{ai-aj / i<=j}
alors il suffi de montrer kil existe i tel ke |xi-ai|>=d/2
soit k et k' les 2 nombres tel ke d=ak-ak' (k<=k' bien sur)
alors si |xk-ak|>=d/2 (terminé) si |xk-ak|<=d/2 il ya 2 cas:
1- si xk>=ak alors puisk ak=ak'+d donc xk'>=xk>=ak=ak'+d cad xk'-ak'>=d>=d/2
2- si ak-d/2<=xk<=ak alors ak'+d/2=ak-d/2<=xk<=xk' cad xk'-ak'>=d/2

B) le cas d'egalité est obtenu pr:
x_k=x_k+1=.....=x_k'=a_k-d/2
et pr tt i<=k:
x_i-1=x_i si x_i-d/2<=a_i-1<=x_i+d/2
x_i=a_i+d/2 si a_i-1<=x_i-d/2
on ne peut jamais avoir a_i-1>x_i+d/2 parceke sinon le nombre u=min{i<=u<=n / x_i=x_u=a_u+d/2 } verifie a_i-a_u>d (absurde)
et pr tt i>=k'
x_i+1=x_i si x_i-d/2<=a_i+1<=x_i+d/2
et x_i+1=a_i+1-d/2 si a_i+1>=x_i+d/2
on ne peut aussi jamais avoir a_i+1<x_i-d/2 parceke sinon le nombre v=max{k'<=v<=i / x_v=x_i=a_v-d/2} verifie a_v-a_i+1>d (absurde)

aannoouuaarr a écrit:

(rq:vs avez oubliez de dir ke x1<=x2<=....<=xn)
A) on peut definir le nombre d d'une autre maniere:
d=max{ai-aj / i<=j}
alors il suffi de montrer kil existe i tel ke |xi-ai|>=d/2
soit k et k' les 2 nombres tel ke d=ak-ak' (k<=k' bien sur)
alors si |xk-ak|>=d/2 (terminé) si |xk-ak|<=d/2 il ya 2 cas:
1- si xk>=ak alors puisk ak=ak'+d donc xk'>=xk>=ak=ak'+d cad xk'-ak'>=d>=d/2
2- si ak-d/2<=xk<=ak alors ak'+d/2=ak-d/2<=xk<=xk' cad xk'-ak'>=d/2

B) le cas d'egalité est obtenu pr:
x_k=x_k+1=.....=x_k'=a_k-d/2
et pr tt i<=k:
x_i-1=x_i si x_i-d/2<=a_i-1<=x_i+d/2
x_i=a_i+d/2 si a_i-1<=x_i-d/2
on ne peut jamais avoir a_i-1>x_i+d/2 parceke sinon le nombre u=max{i<=u<=n / x_i=x_u=a_u+d/2 } verifie a_i-a_u>d (absurde)
et pr tt i>=k'
x_i+1=x_i si x_i-d/2<=a_i+1<=x_i+d/2
et x_i+1=a_i+1-d/2 si a_i+1>=x_i+d/2
on ne peut aussi jamais avoir a_i+1<x_i-d/2 parceke sinon le nombre v=min{k'<=v<=i / x_v=x_i=a_v-d/2} verifie a_v-a_i>d (absurde)

Merci c'est corrigé.
Jolie preuve mon ami