Le problème :
(f(x^2+1))^2 = (f(x^2))^2 + 2(f(x))^2 - 1
Posons g(x) = (f(x))^2
On cherche donc des fonctions g(x) positives ou nulles telles que :
g(x^2+1) = g(x^2) + 2g(x) - 1
Une envie naturelle : essayer certains polynômes de base. Pour garantir que g reste positive ou nulle, il faut travailler sur des polynômes de degrés pairs.
Degré 0 ==> g(x) = 1/2
Degré 2 ==> g(x) = ax^2 + bx + c
a(x^2+1)^2 + b(x^2+1) + c = ax^4 + bx^2 + c + 2ax^2 + 2bx + 2c- 1
a + b = 2bx + 2c- 1
==> b = 0 et a=2c-1 et g(x) = (2c-1)x^2 + c
Pour avoir g(x) >=0, il faut c >= 1/2
Donc déjà plusieurs familles de solutions :
f(x) = racine (1/2)
f(x) = -racine(1/2)
f(x) = racine ((2c-1)x^2 + c) avec c > 1/2
f(x) = -racine ((2c-1)x^2 + c) avec c > 1/2
Mais bien sûr, il y en a d'autres.
Creuser encore, donc ...
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Patrick
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