equation fonctionnelle.

Touver toutes les fonctions f de R vers R tel que pour tout a et b tel que a<b on a f([a,b]) est un intervalle de longueur b-a.

je crois que Id+c et -Id+c les seules verifiant cela ! nn?

oui exactement.
t a réussi à le prouver ?

bel_jad5 a écrit:

oui exactement.
t a réussi à le prouver ?

lol tt d'abord on peut "traduire " cette proprieté sous forme d'une implication ( juste une partie de la proprieté !!)
(qq soit (a,b)£R²)(qq soit (x,y)£[a,b]²),|f(x)-f(y)|=<|a-b|
** en particulier on a |f(a)-f(b)|=<|a-b|
1)ben lidée etait de montrer que pour tt (x,y) , |f(x)-f(y)|=|x-y|
alors supposant le contraire c a d ; qu il existe (a,b) dans R² telq que |f(a)-f(b)|#|a-b| c a d |f(a)-f(b)|<|a-b|
et puisque la longueur de f([a,b]) est |a-b| alors certainement il existe (u,v)#(a,b) dans [a,b]² , (supposant u<v) tel que |f(u)-f(v)||=|a-b| (prenons par ex l'antecedent du max et du min puisque f continue et f([a,b]) est un segment , alors ils existent !!)
2) considerant linterval [u,v] (inclu dans [a,b])
on a la longueur de f([u,v]) est |u-v| , et d'aprés **
on |f(u)-f(v)|=<|u-v| <==>|a-b|=<|u-v|
et puisqyue (u,v) dans [a,b] et (u,v)#(a,b) alors certainemnt on a |u-v|<|a-b| !!
d'ou on deduit contradiction !!
alors on a pour tt (x,y) dans R² : |f(x)-f(y)|=|x-y| ( selon linegality ** f est continue !!)
pour x qq , et y=0
on a |f(x)-f(0)|=|x| ==> f(x)=x+f(0) ou f(x)=-x+f(0)
reciproquement ces fcts realisent les pb
alors f=id+f(0) ou f=-id+f(0)
^^je crois

jolie démonstration.

NB : tu peux réduire beaucoup cette démonstration en posant
g(x)=f(x)-f(0). ( g(0) = 0 et en plus g vérifie la même proprièté que f )

bel_jad5 a écrit:

jolie démonstration.

NB : tu peux réduire beaucoup cette démonstration en posant
g(x)=f(x)-f(0). ( g(0) = 0 et en plus g vérifie la même proprièté que f )

lol merçi bel_jad5 pour lexo
est ce qu il ya d'autre methodes ? ( jai une impression que ce resultat pourait etre obtenu en considerant une ensemble convenable nn? ({(f(x)-f(y))/(x-y)}/ (x,y) dans [a,b]} !)