aide moi svp

Soit n un entier naturel strictemet supérieure à 1.p est un nombre premier.
prouver que si p|(n^3-1) et n|(p-1) alors 4p-3 est un carré parfait

khadija-daria a écrit:

Soit n un entier naturel strictemet supérieure à 1.p est un nombre premier.
prouver que si p|(n^3-1) et n|(p-1) alors 4p-3 est un carré parfait

n/p-1 ==> existe a dans N tel que p-1=an (p>n-1)
p/(n^3-1) ==>p/(n-1)(n²+n+1) ==>p/n²+n+1 ( p premier et p>n-1 ==> p^{n-1}=1)
n²+n+1=bp=b(an+1)=abn+b (***)
==>n(n+1-ab)=b-1
*si on suppose que b#1
on aurait n/b-1 , posons b-1=cn (c>0)
alors n²+n+1=(cn+1)(1+an)
==>n²+n=acn²+(a+c)n ==>n+1=acn+a+c
==>(1-ac)n=a+c-1 * (1-ac<0 et a+c>1)
a,c sont des entier alors * 0<a+c-1=(1-ac)n<0 absurde !!
*alors b=1
d'ou de (***) devient p=n²+n+1
==>4p-3=(2n+1)²
^^ je crois

Khadija-daria a écrit:

Citation :

Soit n un entier naturel strictemet supérieure à 1.p est un nombre premier.
prouver que si p|(n^3-1) et n|(p-1) alors 4p-3 est un carré parfait

Citation :

c'est juste une autre formulation de la solution.
on a:
p|(n^3-1) =>p|(n-1)(n²+n+1) =>p|(n-1) ou p|(n²+n²+1) (car p est premier)
Si p|(n-1) =>p=p
[color=blue]mais on a n|(p-1) =>n=<(p-1) =>n
[color=blue]d'où p|(n²+n+1) =>p|((n²+n²+1)-p)
puisque n|(p-1) =>p=1+kn (k£IN)
donc p|((n²+n+1)-(1+kn)) =>p|n(n+1-k) =>p|(n+1-k)
Si n+1-k#0 => p 1+k(n+1)
[color=blue]d'où n+1-k=0.comme p=1+kn =>4p+3=(2n+1)²

Merci boukharfane radouane et selrespect.deux belles réponses