nilpotent et corps fini

Bonjour,
(trouvé sur un autre site et sur une page individuelle d'agreg) mais pas de solution accessible directement :

Combien y a -t-il d'éléments nilpotents dans Mn(Fq) ?

lolo

vu que la caractéristique du corps F_q est non nul je pense que le nombre est infini ( à revoir). La réponse exacte pour plus tard
A+

Je suppose que tu voulais dire fini ?

(il y a q éléments dans Fq donc le cardinal de Mn(Fq) = q^{n^2} )

On peut minorer facilement par q^{n(n-1)}/2} en considérant juste les triangulaires supérieures strictes mais je sais que ça ne suffit pas.

lolo

C'est q^(n²-n)


Y'a une 'stuce qui permet de le faire assez facilement.

Nil(n,q) le nombre cherché.

Plan :

- il y a au total Nil(n,q) × q^n (n+1)-uplet (M, v_1, ..., v_n) tel que M est nilpotente et v_{i+1} = M*v_i

- Chaque (v_1, ..., v_n) est de la forme (v_1, .., v_r, 0, ..0) avé les {v_1, .., v_r} linéairement indépendants (classique)

- A chaque {v_1, .., v_r} il y a donc Nil(n-r,q) × q^(r(n-r)) matrice M qui marchent

- Formule de récurrage et c'est fini.