Lemme et application.

Lemme:
Soit U_n une suite de reels tel que:
U_1=a ; U_2=b; U_(n+2)=bU_(n+1)+aU_n
Montrer que pour tout m>=1
U_(n+m)=U_nU_(m+1)+U_(n-1)U_m.
Application:
Soit V_n une suite d'entiers naturels tels que:
V_0=0 ; V_1=1; V_(n+2)=2V_(n+1)+V_n
Montrer que 2^k divise V_n si et seulement si 2^k divise n.

pour la lemme;
pour m=1 la relation est vérifiée.
soit n£IN.Supposons que U_(n+m)=U_nU_(m+1)+U_(n-1)U_m et montrons que U_(n+m+1)=U_nU_(m+2)+U_(n-1)U_(m+1)
il suffit de voir que U_(u+1)=bU_(u)+aU_(u-1) puis on pose
u=m+n et on subtitue U_(n+m) et U_(n+m-1) par leurs valeurs qu'on a supposé puor arriver au résultat voulue.