jolie inégalité

soient a.b.c et d de R*+

demontrez que

bonne chance

SAAD


sujet deplacer +titre édité par l'administration

le probleme du dernier poste reside ici

on a g°(t)=3*49t²-2*49t+6

g°(t)=0 admet deux solutions et les deux sont negatifs (n°appartenat po a ]0,1[)

n'est ce pas ?

bonsoir saad ,
notons S la somme a gauche de linegalit ,et posons ,
x=a/(a+b+c+d),y=b/(a+b+c+d),z=c/(a+b+c+d),t=d/(a+b+c+d)
♣ (x+y+z+t=1)
remarquons que :
S=f(x)+f(y)+f(z)+f(t)
tel que f la fct definie sur ]0,1[ par :
f(t)=rac((6t+1)/(1-t))
on remarque que pour tt t dans ]0,1[

f(t)>7t

<==> (6t+1)>49t²(1-t)

<==>g(t)=49t^3-49t²+6t+1>0

on a g°(t)=3*49t²-2*49t+6

alors g° garde un signe constant sur ]0,1[

c a d g monotone .

on a g(0)>0 et g(1)>0

alors on a tjs g(t)>0.

d°ou f(t)>7t

==> S>7(x+y+z+t)=7

selfrespect a écrit:

alors g° garde un signe constant sur ]0,1[

pourquoi?

saad007 a écrit:

selfrespect a écrit:

alors g° garde un signe constant sur ]0,1[

pourquoi?

dsolE cest faux j°ai commis une erreure lors le calcul DES RACINES

saad007 a écrit:

effectivement car g' a une solution appartenante a ]0,1[
n'est ce pas?

LOL CEST A LERREURE QUE JAI COMMIS AU DEBUT mais en realite les deux sont dans ]0,1[ et mm limage de lun deux par g est <0

alors?

voice une autre approche à la solution et pas loin de celle de Selrespect.
on voit que si a,b,c et d vérifient l'inéquation alors ka,kb,kc et kd l'ont aussi.
donc sans perdre la géneralité du problem on peut supposer que
a+b+c+d=1.
l'inégalité devient alors sigma(cyclique)rac(6a+1)/(1-a) >7.
la fonction f(t)(rac(6t+1)/(1-t)) est convexe sur [0,1] d'où d'aprés Jensen
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)>=4f((a+b+c+d)/4)=4rac(10/3)>7.

boukharfane radouane a écrit:

voice une autre approche à la solution et pas loin de celle de Selrespect.
on voit que si a,b,c et d vérifient l'inéquation alors ka,kb,kc et kd l'ont aussi.
donc sans perdre la géneralité du problem on peut supposer que
a+b+c+d=1.
l'inégalité devient alors sigma(cyclique)rac(6a+1)/(1-a) >7.
la fonction f(t)(rac(6t+1)/(1-t)) est convexe sur [0,1] d'où d'aprés Jensen
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)>=4f((a+b+c+d)/4)=4rac(10/3)>7.

lol cest la premiere chose que jai fait elle change de concavit en fin (je crois que jai trouve 1/3 ou 2/3 )