equation fonctionnele

trouvez toutes les fonctions f definies sur R² ;
pour tout (x,z) de R² et tout y de R on a
f(x,z)= f(x,y) +f(y,z)
bon courage.

aissa a écrit:

trouvez toutes les fonctions f definies sur R² ;
pour tout (x,z) de R² et tout y de R on a
f(x,z)= f(x,y) +f(y,z)
bon courage.

Bonjour aissa,

x=y=z ==> f(x,x)=0
z=x ==> f(y,x)=-f(x,y)

Soit alors h(x)=f(0,x). On a h(y)-h(x)=f(0,y)-f(0,x)=f(0,y)+f(x,0)=f(x,y)

Donc : pour toute solution f(x,y) de l'équation, il existe au moins une fonction h de R dans R telle que f(x,y)=h(y)-h(x).

Réciproquement, soit h(x) une fonction quelconque de R dans R. Soit alors f(x,y)=h(y)-h(x). On vérifie immédiatement que f(x,y)+f(y,z)=f(x,z)

Donc, l'ensemble des solutions de l'équation proposée est l'ensemble des fonctions f(x,y)=h(y)-h(x) lorsque h(x) parcourt l'ensemble des fonctions de R dans R.

Joli problème, et original
--
Patrick