- saad007 a écrit:
- salut tt le monde
soit A={0;1;2;...} determiner toutes les fonctions definies sur A par
f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) pour tt m et n de S
bonne chance
Bonjour Saad007.
Ce problème est très joli et plutôt original, je trouve.
1) f(0)=0
m=n=0 ==> f(f(0))=f(f(0))+f(0) ==> f(0)=0.
CQFD
2) f(x)=x pour tout x appartenant à IM(f)
m=0 => f(f(n))=f(n) ==> f(x)=x pour tout x appartenant à Im(f).
CQFD
3) Si x appartient à Im(f), alors nx appartient à IM(f).
Si x appartient à Im(f), alors f(2x)=f(x+f(x))=f(f(x))+f(x)=2x et 2x appartient à Im(f). Par récurrence, il est aisé de montrer alors que si x appartient à Im(f), nx appartient aussi à Im(f) pour tout entier n.
CQFD
4) Si x et y appartiennent à IM(f), alors pgcd(x,y) appartient à IM(f)
Soit c=pgcd(x,y). Il existe p et q >=0 tels que c=px-qy (quitte à échanger x et y). Alors :
px=f(px) et qy=f(qy) (voir 3. et 2.)
px=f(px)=f(c+qy)=f(c+f(qy))=f(f(c))+f(qy)=f(c)+qy et donc f(c)=px-qy=c
CQFD
5) Il existe p>=0 tel que Im(f)={kp, pour tout k dans N}
Soit f(x)=0 pour tout x et la proposition est démontrée (p=0)
Soit il existe des x non nuls dans Im(f) et d'après 4, le pgcd p de tous les éléments non nuls de Im(f) est dans Im(f), ce qui d'après 3 implique le résultat.
======== Solutions =========
Solution 1 : p dans 5). vaut 0 ==> Im(f)={0} et f(n)=0
Solution 2 : p dans 5). vaut 1 ==> Im(f)=N et, d'après 2, f(n)=n
Solution 3 : p dans 5). > 1
On peut alors définir de façon presque arbitraire f pour les valeurs 1 à p-1 (seule contrainte : les valeurs doivent être multiples de p puisque Im(f) est l'ensemble des multiples de p) et définir ensuite f(kp+r)=kp+f(r) :
Soit donc h(n) une fonction quelconque définie sur {0, 1, 2, ..., p-1} et telle que h(0)=0
La solution est alors f(x)=x-mod(x,p)+p*h(mod(x,p))
Exemples :
E1) : p=0 ==> f(n)=0
E2) : p=1 ==> f(n)=1
E3) : p=2 et h(1)=5 ==> f(2n)=2n et f(2n+1)=2n+10
E4) : p=3, h(1)=1 et h(2)=4 ==> f(3n)=3n, f(3n+1)=3n+3, f(3n+2)=3n+12
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Patrick
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