inegalite

je pense que tchebtchev peut étre un moyen trés util mais j'ai pas encore vu

ok je vais essayer moi meme avec tchebtchev

Tu t'es trompé ! C'est :

x^(x² + 2yz)*y^(y² + 2xz)*z^(z² + 2xy) >= (xyz)^(xy + yz + xz + x)

L'inégalité proposée est équivalente à

(x² + 2yz) lnx + (y² + 2xz) lny + (z² + 2xy) lnz >= (xy + yz + xz + x)(lnx + lny + lnz)

Ou encore,

(x - z)(x - y)lnx + (y - x)(y - z)ln y + (z - x)(z - x)ln y >= 0

Puisque l'inégalité est symétrique en ses variables, on peut toujours supposer x >= y >= z. Alors, (z - x)(z - x)ln y >= 0 et (x - z)(x - y)lnx + (y - x)(y - z)ln y >= 0

CQFD.

J'ai oublié : On a ln x, lny, ln z > 0 car x,y,z > 1

oui c'est ca desole pour l'erreur

c'est uassi la relation de SCHUR-VIRNICU.

boukharfane radouane a écrit:

c'est uassi la relation de SCHUR-VIRNICU.

tu peux expliquer?

soit a,b,c,x,yet z des reels arbitraires tels que a>=b>c et (x>=y>=zou x=<y=<=z)et f :R===>R*+ monotone ou convexe et k un entier positif.
alors:f(x)(a- b)^k(a- c)^k + f(y)(b -c)^k(b - a)^k+ f(z)(c - a)^k(c-b)^k >=0
prendre dans ce cas k=1et f(x)=ln(x) qui est strictement croissante.