a;b;c de [0;1/2] et a+b+c = 1
on a : a<1/2 donc 2a < 1 <=> 2a < a+b+c d'ou a<b+c la meme chose pour les autres.
donc on peut supposer que a;b;c sont des cotés de triangle.
posons S = a^3 + b^3 + c^3 + 4abc
alors par une subtitution : a=x+y et b=y+z et c=z+x
donc : S = (x+y)^3 + (y+z)^3 + (z+x)^3 + 4(x+y)(y+z)(z+x)
S = (1/2-z)^3 + (1/2-x)^3 + (1/2-y)^3 + 4(1/2-x)(1/2-y)(1/2-z)
S =.. .. ..= 1/4 + (x²+y²+z²)/2 - (x^3+y^3+z^3) - 4xyz
il suffit de prouver que A=(x²+y²+z²)/2 - (x^3+y^3+z^3)-4xyz =< 1/32
on pose : x+y+z=p=1/2 et xy+yz+zx=q et xyz = r
donc : A = (p²-2q)/2 - p^3+3pq-3r - 4r =< 1/32
<=> p² - 2q - 2p^3 + 6pq - 14r =< 1/16
<=> 1/4 - 2q - 1/4 + 3q - 14r =< 1/16
<=> q -14r =< 1/16 . et sachant que : q =< (p^3+9r)/4p
donc <=> q-14r =< (p^3 + 9r)/4p - 14r = (1/8 + 9r)/2 -14r
<=> 72r-224r =<0 ce qui est juste , donc
A=< 1/32d'ou S =< 1/4 + 1/32 = 9/32 
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