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trouver les fonctions (si elles existent)définies de IR--->IR
par f(x+y)=[f(x)][f(y)]

je pense que la seule fonction qui verifient l'équation précedante et f(x)=exp(ax) avec a£IR.

boukharfane radouane a écrit:

je pense que la seule fonction qui verifient l'équation précedante et f(x)=exp(ax) avec a£IR.

et f(x) = 0 pour tout x ?

...si f n est pas continue alors il y a une infinité de solutions !

pour y=x/2
f(x)=f²(x/2) donc f est positive.
donc on peut determiner f pour x appartenant à N et Z.

exact ce sont (je crois) les seules solution f(x)=exp(ax) et f(x)=0

Mais il nous faut une demonstration.

ashoka a écrit:

Mais il nous faut une demonstration.

Bonjour à tous.


f(x+y)=f(x)f(y)

1) si il existe a tel que f(a)=0, alors, en faisant x=b-a et y=a;, on a f(b)=0 pour tout b et la solution f(x)=0 pour tout x

2) si f est non nulle pour tout x, alors en faisant x=y=a/2, on a f(a)=(f(a/2))^2 et donc f(a)>0 pour tout a.
On peut alors définir g(x)=ln(f(x)) et on a tout de suite g(x+y)=g(x)+g(y) pour tous x et y.

g est donc solution d'une classique équation de Cauchy et donc g(x)=ax (seules solutions continues) mais aussi une infinité de solution discontinues.

Les solutions à l'équation proposée sont donc :

f(x)=0
f(x)=e^(ax) pour tout réel a (y compris a=0 qui donne f(x)=1)
f(x)=e^g(x) pour toute solution discontinue de l'équation de Cauchy g(x+y)=g(x)+g(y).

Bel_jad5 avait bien sûr raison en disant qu'une infinit" de solutions discontinues existent (mais avec axiome du choix).

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Patrick