- mahmoud16 a écrit:
- trouver toutes les fonctions fde Rvers R tel que:
f(xa)+f(((4+3a)x)=2f((2+a)x)
où a=rac2.
Soit b=a+1, on a :
f(ax)+f(ab^2x)=2f(abx), soit f(x)+f(b^2x)=2f(bx).
D'où la solution générale :
Choisir deux fonctions quelconques g(x) définie sur ]-b^2,-1] et h(x) définie sur [1, b^2[ et définir f ainsi :
Pour x dans [1,b^2[ f(x)=h(x)
Pour x dans [b^n,b^(n+1)[, n>1 : f(x)=2f(x/b)-f(x/b^2) : définition par récurrence
Pour x dans [b^(-n),b^(-n+1)[, n>0 : f(x)=2f(bx)-f(b^2x) : définition par récurrence
Pour x=0 : f(0) quelconque
Pour x dans ]-b^(-n+1),-b^(-n)], n>0 : f(x)=2f(bx)-f(b^2x) : définition par récurrence
Pour x dans ]-b^2,-1], f(x)=g(x)
Pour x dans ]-b^(n+1),-b^n], n>1 : f(x)=2f(x/b)-f(x/b^2) : définition par récurrence
Si on exploite le fait que f(b^2x)-f(bx)=f(bx)-f(x), on a une forme plus simple :
Pour x>0 : f(x) = (1-[ln(x)/ln(b)])h(b^(-[ln(x)/ln(b)])x)+[ln(x)/ln(b)]h(b^(1-[ln(x)/ln(b)]x)
Pour x=0 : f(0) quelconque
Pour x<0 : f(x) = (1-[ln(-x)/ln(b)])g(b^(-[ln(-x)/ln(b)])x)+[ln(-x)/ln(b)]g(b^(1-[ln(-x)/ln(b)]x)
Si on exige la continuité en 0, il faut h(x)=g(x)=f(0) et les seules solutions sont f(x)=c constante
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Patrick
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