f:N -> N

Trouver toutes les fonctions f:N -> N telles que :

(1) f est strictement croissante sur N
(2) f(2n) = f(n) + n pour tout n € N
(3) f(n) premier ==> n premier

la j aimerais bien passé par le Théorème de Dirichlet :si a et b sont premiers entre eux alors la suite ak+b contien une infinité de nombres premiers

application:
on pose f(1)=a
alors f(2)=a+1
f(2²)=a+1+2=a+3
par recurrence f(2^n)=a+2^n-1
par croissance de la foncton f on déduit que f(i)=a+i-1
d aprè la 3 condition si a+i-1 est premier alors i est premier
on suppose que a >=3
soit q un nombre premier superieur à (a-1) alors pgcd(q,a-1)
d ou la suite (qm+(a-1)) pour m ds N contient une infinité de nombres premiers d ou qm est un nombre premier ,contradiction
alors on déduit que a=0 ou a = 1 ou a=2
pour a=0 f(5)=4 comme 5 est premier et 4 non alors c ps possible
pour a=1 f(n)=n possible
pour a=2 f(5)=6 comme 5 est premier et 6 non alors c ps possible
conclusion f(n)=n

Salut!
En fait, tu n'as même pas besoin du théorème de Dirichlet.
Dès que tu as trouvé : f(n)=a+n-1 pour tout n, suppose que a>1 et considère une suite de nombres composés consécutifs, par ex : (a+1)!+2, (a+1)!+3, ..., (a+1)!+a+1.
Soit p le plus petit nombre premier supérieur à (a+1)!+a+1.
Alors p-a+1 doit être premier, ce qui est une contradiction.
Et l'on conclut

j ai utilisé le théoreme de direchlet car c un theoreme trè puissan que j ai jamai eu l occasion d utiliser ...merci pr l exo !

De rien!

Oui, je sais, mais bon, le théorème de Dirichlet (dans le cas général) est très dur à prouver, donc, il est préférable d'essayer de trouver des solutions plus élémentaires .