olympide éxo

pour la premiere aplication directe de cauchy shwarz

miriam a écrit:

salut jé un éxo à vou proposer
a,b,c son des nombre réelle
montre ke
1) (a+b+c)^2
2) x,y,z son des nombre réelle et sinx+siny+sinz>ou=2
[b]montr ke cosx+cosy+cosz

[/b]
salut ,
pour 1) remarqUE QUE /
(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=[a²+b²+c²+2(ab+ca+bc)]-3(a²+b²+c²)
=2[ab+bc+ac-a²-b²-c²]=-[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]=<0
deduire.
pour 2) prends a=sin(x) , b=sin(y) pui c=sin(z) dans la premier 1) et remarque que cos²(t)=1-sin²(t) .
a+

1er) On a (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0
<==> (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²+a²+b²+c²>=a²+b²+c²
<==>3(a²+b²+c²)>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
<==>3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)²

2éme) On a 3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)²
Posant a=sin(x) et b= sin(y) et c=sin(z)
On a 4<=(sin(x)+sin(y)+sin(z))²<=3(sin(x)²+sin(y)²+sin(z)²)
<==> 4<=3(1-cos(x)² +1-cos(y)² +1-cos(z)²)
<==> 3(cos(x)²+cos(y)²+cos(z)²)<=5
appliquant la relation du 1ér exo :
(cos(x)+cos(y)+cos(z))²<=3(cos(x)²+cos(y)²+cos(z)²)<=5
d'oµ cosx+cosy+cosz<=V5
Alaoui.Omar

selfrespect a écrit:

miriam a écrit:

salut jé un éxo à vou proposer
a,b,c son des nombre réelle
montre ke
1) (a+b+c)^2
2) x,y,z son des nombre réelle et sinx+siny+sinz>ou=2
montr ke cosx+cosy+cosz

salut ,
pour 1) remarqUE QUE /
(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=[a²+b²+c²+2(ab+ca+bc)]-3(a²+b²+c²)
=2[ab+bc+ac-a²-b²-c²]=-[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]=<0
deduire.
pour 2) prends a=sin(x) , b=sin(y) pui c=sin(z) dans la premier 1) et remarque que cos²(t)=1-sin²(t) .
a+

jté en trein de redigé ma reponse et toi aussi je Vois

Bonjour les amis !!!
Vos réponses sont des merveilles de sagacité !!! Mais n'oubliez ce qu'a dit Petite miriam :
<< je sré lané prochène en 1sm é mon age é encore 15 ans
jéssaie de prépré pr lanné prochène inchaalah tte seule >>
Par conséquent , il faut y aller molo-molo avec un bagage élémentaire !!!!
Que pensez-vous de celà :
En développant simplement le CARRE :
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2{ab+bc+ca}
Or , on a l’inégalité suivante :
Pour tous s et t dans IR 2st<=s^2+t^2 que tu peux démontrer en écrivant que (s-t)^2>=0
c.à.d s^2+t^2-2st >=0 et de là , tu peux conclure .
Utilisant TROIS fois de suite cette inégalité , on peut écrire :
2ab<=a^2+b^2
2bc<=b^2+c^2
2ca<=c^2+a^2
d’ou:
2{ab+bc+ca}<=2{a^2+b^2+c^2} et par suite :
(a+b+c)^2<ou=3(a^2+b^2+c^2)
A+ à Tous de la Bande !!!!

salut voila une methode pour 1
on a (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)

on a 3(x²+y²+z²)-(x+y+z)²=2x²+2y²+2z²-2(xy+xz+yz)
=(x-y)²+(x-z)²+(z-y)²>0
alors x²+y²+z²>(x+y+z)²/3


je crois que c simple a saisir n'est ce pas?
merci

fahd a écrit:

MERCI TOOOOOOOOOUUUUUUUUUUUUUUSSSSSSSSSSSSSSS
POOOOOOOUUUUUUUURRRRRRRRRRR VVOOOOOOOOS AAIIIIIIIDESSSSS:D

wa dik chi likanchof d9ol 3ad khalssa mn jiba

ali 20/20 a écrit:

fahd a écrit:

MERCI TOOOOOOOOOUUUUUUUUUUUUUUSSSSSSSSSSSSSSS
POOOOOOOUUUUUUUURRRRRRRRRRR VVOOOOOOOOS AAIIIIIIIDESSSSS:D

wa dik chi likanchof d9ol 3ad khalssa mn jiba

qu'est ce qhe ça veut dir V5?
et le symbole ^ ?

iverson_h3 a écrit:

qu'est ce qhe ça veut dir V5?
et le symbole ^ ?

racine carré