- khadija-daria a écrit:
- trouver toutes les fonctions définies de ]0,+infin[ vers ]0,+infini[ et qui vérifient
f²(x) >=f(x+y)(f(x)+y)
Très joli problème :
f(x+y)<=f^2(x)/(f(x)+y)<=f(x) et donc f est décroissante
soit alors les 2 suites a_n et b_n suivantes :
a_1=x, b_1=f(x)
a_(n+1)=a_n+b_n, b_(n+1)=f(a_(n+1))
En faisant x=a_n et y=b_n dans l'inéquation initiale, on a :
b_n^2>=b_(n+1)(b_n+b_n) et donc b_(n+1)<=b_n/2
Donc b_n <= b1/2^(n-1)=f(x)/2^(n-1)
Et a_(n+1)=b_n+b_(n-1)+...+b_1+a_1 <= a_1+f(x)(1+1/2+ ... +1/2^(n-1))<= a_1+2f(x)=x+2f(x)
Donc a_n <=x+2f(x) et donc f(a_n)>=f(x+2f(x)) (f décreoissante)
Mais f(a_n)=b_n<=f(x)/2^(n-1)
Donc f(x+f(x))<=f(x)/2^(n-1) pour tout n
Ce qui est évidemment impossible puisque cela implique f(x+2f(x))<=0 et que f est >0 par hypothèse.
Il n'y a donc pas de solutions à cette inéquation.
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Patrick
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