f(3x) >= f(f(2x)) + x, Max inf {f(x)/x} = ?

Soit F l'ensemble des fonctions f : R+* --> R+* vérifiant

Trouver le maximum de inf_x {f(x)/x} quand f parcourt F.

mathman a écrit:

Soit F l'ensemble des fonctions f : R+* --> R+* vérifiant

f(3x) >=f(f(2x)) + x.

Trouver le maximum de inf_x {f(x)/x} quand f parcourt F.

Joli ...

Nota : J'ai compris inf_x {f(x)/x} comme inf_x (f(x)/x) et pas comme inf_x partie fractionnaire de f(x)/x.

Supposons pour une fonction f donnée de F, inf_x (f(x)/x))=a
On a donc f(x)>= ax pour tout x et donc f(f(2x))>=af(2x)>=2a^2x
Donc f(3x)>=(2a^2+1)x
Donc f(3x)/3x >= (2a^2+1)/3 pour tout x
Donc inf_x (f(x)/x) >= (2a^2+1)/3
Donc a >= (2a^2+1)3
Donc 2a^2-3a+1 <=0
Donc (a-1)(2a-1) <= 0
Donc 1/2<=a<=1

Donc max_F(inf_x(f(x)/x)) <= 1
Et comme f(x)=x appartient à F et que inf_x f(x)/x = 1 pour cette fonction, on a :

max_H(inf_x(f(x)/x)) = 1

--
Patrick

Inutile de dire que ta solution est correcte.
(J'avais exactement la même.)

Par contre, cette fois le problème n'est pas de moi, il vient d'une olympiade vietnamienne.