Polynome , irrationnel ...

Salut ,
R: P(irrationnel)=irrationnel
demontrer que parmi tous les polynomes a coefficient entieres , seulemnt les polynomes du premier degrés qui verfie la proprieté R.

BJR Selrespect :
Dans le lien suivant :
https://mathsmaroc.jeun.fr/mathematiques-superieurs-et-speciales-c3/Algebre-f7/exo-polynome-Oral-de-L-X-t4264.htm
Bel_Jad5 a posé ce qui suit :

bel_jad5 a écrit:

…….

NB : j ai un exo plus intéressant, je l ai eu en oral pour intégrer l X. j ai réussi à le faire, mais franchement ce jour la j avais bcp de chance

voila l exo :
trouver tous les polynomes de C[X] tels que l image de R-Q est incluse dans R-Q.

Je lui ai répondu :
<< BJR à Tous et Toutes !!!
Il serait bon de rappeler que R-Q n'est pas STABLE pour l'addition et la multiplication habituelle !
En outre IRRATIONNEL + RATIONNEL =IRRATIONNEL
et IRRATIONNEL x RATIONNEL = IRRATIONNEL par suite , il reste les polynômes de degré 1 de la forme :
P(X)=aX+b avec a et b rationnels qui font l'affaire !!
Sauf erreurs bien entendu !!
A+ LHASSANE >>
C’est peut etre le même Pb que tu poses !!!!!! A+
NB : on attend toujours la réponse de Bel_Jad5 à ce Pb !!!
S’il veut bien nous en gratifier la correction ce serait bien!!!
S'il veut la GARDER POUR LUI , tant pis !!!!!!!!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR Selrespect :
Dans le lien suivant :
https://mathsmaroc.jeun.fr/mathematiques-superieurs-et-speciales-c3/Algebre-f7/exo-polynome-Oral-de-L-X-t4264.htm
Bel_Jad5 a posé ce qui suit :

bel_jad5 a écrit:

…….

NB : j ai un exo plus intéressant, je l ai eu en oral pour intégrer l X. j ai réussi à le faire, mais franchement ce jour la j avais bcp de chance

voila l exo :
trouver tous les polynomes de C[X] tels que l image de R-Q est incluse dans R-Q.

Je lui ai répondu :
<< BJR à Tous et Toutes !!!
Il serait bon de rappeler que R-Q n'est pas STABLE pour l'addition et la multiplication habituelle !
En outre IRRATIONNEL + RATIONNEL =IRRATIONNEL
et IRRATIONNEL x RATIONNEL = IRRATIONNEL par suite , il reste les polynômes de degré 1 de la forme :
P(X)=aX+b avec a et b rationnels qui font l'affaire !!
Sauf erreurs bien entendu !!
A+ LHASSANE >>
C’est peut etre le même Pb que tu poses !!!!!! A+
NB : on attend toujours la réponse de Bel_Jad5 à ce Pb !!!
S’il veut bien nous en gratifier la correction !!!

Salut Mr Oeil_de_Lynx , je vois qu ilsd sont similairs sauf sur le fait que mes Polynomes ont des coefficients entiers (Z[X] )mais celle de Beljad5 sont dans C ( c est çà ce que voulez dire C[x] nn? )
j ai trouvé cet exo dans un boukin de Mr Akkar (nn resolu et je cris que je lai resolu ) en fait l'idée est tres simple il fallait juste choisir le raisonnement apprprié .

Les miens sont dans Q[X] et les tiens sont dans Z[X] !
Quel est le meilleur ??????
La solution c'est les polynomes de Q[X] de degré 1 .
Bel_Jad 5 avait dit :
<<Moi aussi j ai procédé de la même façon le jour de mon oral, mais un peu différemment, je me suis dit que X² ne laisse pas stable racine(2) , x^3 ne laisse pas racine3(2)...j ai dit au professeur que la solution est les polynomes de degré 1...il m a dit : démontrez le alors! >>

PS : Je connais bien Mr Mohammed AKKAR ? C'est un de mes anciens collègues à La Fac. des Sciences de Rbt , il a été pendant longtemps l'initiateur des Olympiades au MAROC lorsqu'il était Directeur de la Formation des Cadres au MEN à Rbt !!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

Les miens sont dans Q[X] et les tiens sont dans Z[X] !
Quel est le meilleur ??????
Je connais bien Mr Mohammed AKKAR ? C'est un de mes anciens collègues à La Fac. des Sciences de Rbt , il a été pendant longtemps l'initiateur des Olympiades au MAROC lorsqu'il était Directeur de la Formation des Cadres au MEN à Rbt !!!!

LES DEUX SONT SEMBLABLES il suffit de multiplier P par le PPCM (qi)
tel que P(x)=sum ai.x^i et ai=pi/qi ( et alors on passe duin polynome de coefficients rationnel a un autre de coefficient entiere)
vraiment Mr AKKar est lun des grands matheux marocains et voire mm internationalses , tous mes salutations a lui .

Oui , c'est vrai , tu as raison pour le PPCM.....!!
On attend donc Bel_Jad5 pour la Soluce ou Pas !!!!!!
A+

Oeil_de_Lynx a écrit:

Oui , c'est vrai , tu as raison pour le PPCM.....!!
On attend donc Bel_Jad5 pour la Soluce ou Pas !!!!!!
A+

ben je propose une petite chose qui peut etre utile :
on veut chercher les poly verifiants : r £R-Q ==> P(r) £R-Q
cherchons alors ceux qui verifient : P(r)£Q ==> r £Q
c moins dur mnt ( elle peut etre fausse )
bonne chance .

Pour ce 2ème Pb , ce n'est pas dur !!!
Q est un corps , les polynomes sont donc Q[X] tout entier !!!!
MAIS , on ne peut pas travailler par complémentarité car IR\Q n'a pas de structure algébrique du tout !!!
A+