une belle application du TAF.

f est une fonction (n+1) fois dérivable sur chaque point de IR.sachant que pour tout paire a et b avec a<b on a:
ln((f(b)+f'(b)+f"(b)+...+f^(n)(b))/(f(a)+f'(a)+...+f^(n)(a))=b-a.
montrer qu'il existe un c£]a,b[ tel que f^(n+1)(c)=f(c)

Salut

on considère la fonction g définie sur IR+* par : g(x)=Ln(Sum_k=0^k=n(f^(k)(x) )) en appliquant TAF la fonction g entre a et b il vient :

il existe c €]a,b[ /
ln((f(b)+f'(b)+f"(b)+...+f^(n)(b))-ln(f(a)+f'(a)+...+f^(n)(a))=(b-a)(f'(c)+f''(c)+...+f^(n+1)(c))/(f(c)+f'(c)+...+f^(n)(c))

D'où f^(n+1)(c)=f(c)


Sauf qu'on doit avoir Sum_k=0^k=n(f^(k)(x) )>0 pour tout x€[a,b]