Ceci vient en réponse au post d'Oumzil dans :
https://mathsmaroc.jeun.fr/Lycee-c1/Groupe-etudiants-du-T-S-M-f28/Grand-Jeu-d-ete-2007-TSM-EST-COMENCE-t3973-525.htmen page 36.
<< L'Histoire de L'Hotel de l'Infini >> , cette histoire qu'aimait raconter le Grand David HILBERT ( 1862-1943) à ses étudiants .
Cet hôtel ou il y a de la place pour tous les êtres humains permet de comprendre les sournoiseries de la Théorie des Ensembles dès que l'on commence à titiller des ensembles infinis dénombrables comme IN .
Voilà , je vous ai promis de vous raconter l’histoire de << L’Hotel de l’Infini >> que le Grand Savant et Pédagogue allemand David HILBERT racontait à ses étudiants médusés !!!!
Bien sûr , cette histoire est extraite du Numéro Spécial de << Science et Vie JUNIOR >> daté d’Octobre 1996 .
L’Hotel de l’Infini : imaginez un hotel contenant une INFINITE de chambres …
Une nuit d’orage , un voyageur entre à l’Hotel de l’Infini . << Désolé , lui dit Herr Hilbert , le gérant, c’est archicomplet.Et pourtant la maison ne regarde pas à la dépense puisque nous avons une infinité de chambres …>>
Mais l’homme parait si harassé qu’ Hilbert le prend en pitié.
<< Attendez un peu : il me vient une idée qui me permettra peut-être de vous loger.>> Et le gérant de sonner du cor de chasse .Quand tous les occupants de l’hôtel sont réveillés et rassemblés dans le hall, il prie chacun d’emménager dans la chambre dont le numéro suit son propre numéro de chambre .L’occupant de la chambre Numéro1 s’installe donc dans la Numéro2, celui de la Numéro2 dans la Numéro3, celui de la Numéro3 dans la Numéro4…..et ainsi de suite à l’infini.
<< Et voilà le travail !!>> dit Hilbert au visiteur en lui tendant la clé de la chambre Numéro1.
Vous avez là l’explication de l’application de IN* dans IN f définie par
n-------> f(n)=n+1 ou translation d’UNE CASE qui a permit de libérer la chambre Numéro1 !!!!!!!!
Je continue l’histoire :
La nuit suivante arrive un car de la compagnie Reise illimited. Un car très spécial qui contient un nombre infini de touristes . Mais l’Hôtel de l’Infini est encore complet . Hilbert résout ce nouveau casse-tête de la façon suivante : l’occupant de la Chambre1 passe dans la Chambre2,celui de la Chambre2 dans la Chambre4,celui de la Chambre3 dans la Chambre6,celui de la Chambre4 dans la Chambre8 et ainsi de suite à l’infini.
Grâce à ces déplacements , le nombre infini des Anciens Clients se case dans les chambres à numéro PAIR , et le nombre infini des Nouveaux Clients va dormir dans les chambres à numéro IMPAIR . Et tout le monde fut logé !!!!
Vous avez là l’explication de l’application de IN* dans IN g définie par
n-------> g(n)=2n qui est injective non surjective !!!!
A+
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