Equation fonctionnelle 3

Trouver toutes les fonctions telles que pour tout x & y :
f(x)^2-f(y)^2>=f(x+y)f(x-y).

je l'ai posté ce matin dans "3 équations fonctionnelles". que trouves tu?

kaderov a écrit:

Trouver toutes les fonctions telles que pour tout x & y :
f(x)^2-f(y)^2>=f(x+y)f(x-y).

y=0 implique f(0)^2 <=0 et donc f(0)=0
x=0 implique -f(y)^2>=f(y)f(-y) et donc f(y)=0 ou f(y)>0 et -f(y)>=f(-y) ou f(y)<0 et -f(y)<=f(-y)
Mais, si f(y)>0, f(-y) est négatif et donc -f(-y)<=f(-(-y)), soit -f(y)<= f(-y) et donc f(-y)=-f(-y).
De même, si f(y)<0, f(-y)>0 et donc -f(-y)>=f(y) et encore f(-y)=-f(y)

f est donc impaire.
Alors f(y)^2-f(x)^2>=f(x+y)f(y-x) = -f(x+y)f(x-y) et donc :
f(x)^2-f(y)^2 <= f(x+y)f(x-y)

Donc f(x)^2 - f(y)^2 = f(x+y)f(x-y) pour tous x et y

Là, je ne sais pas continuer car on n'a aucune hypothèse de continuité ou de dérivabilité.

Avec l'hypothèse de dérivabilité, on trouve (cf mon message dans le fil de pipok20) a*x, a*sin(bx) et a*sh(bx).

Sans cette hypothèse, et en tous cas sans l'hypothèse de continuité, je pense qu'on a d'autres solutions.
Je cherche ... .

--
Patrick

pco a écrit:

kaderov a écrit:

Trouver toutes les fonctions telles que pour tout x & y :
f(x)^2-f(y)^2>=f(x+y)f(x-y).

...
Avec l'hypothèse de dérivabilité, on trouve (cf mon message dans le fil de pipok20) a*x, a*sin(bx) et a*sh(bx).

Sans cette hypothèse, et en tous cas sans l'hypothèse de continuité, je pense qu'on a d'autres solutions.
Je cherche ... .

Et bien, par exemple, toute composition f=goh dans laquelle g est une des solutions continues (a*x, a*sin(bx) ou a*sh(bx) ) et h une des solutions non continues de l('équation de Cauchy f(x+y)=f(x)+f(y) est solution de l'inéquation initiale.

Il y a donc bien une infnité de solutions non continues (sous couvert axiome du choix)

--
Patrick