Fonctions mesurables

Montrer que toute fonction mesurable f(x) verifiant l'equation de cauchy f(x+y)=f(x)+f(y) est continue.

Déjà, sans hypothèse de continuité, on peut prouver que f(x) = r*x pour r rationnel.

Ensuite, pour pouvoir passer de "rationnel" à "réel", une des quatre conditions suivantes suffit :
(i) f est continue;
(ii) f est strictement monotone;
(iii) f est bornée sur un segment;
(iv) f est mesurable.

On a [(iii) ==> (i), (ii)] et [(iv) ==> (i), (ii)].

Tu demandes (iv) ==> (i).

On peut en fait prouver quelque chose de plus fort, à savoir :
si (f(x) + f(y))/2 >= f((x + y)/2) et f est mesurable, alors f est convexe.

Je veux laisser le plaisir à ceux qui sont intéressés de s'amuser avec ce que je viens d'écrire, aussi je ne posterai pas de solution tout de suite.

mathman a écrit:

Déjà, sans hypothèse de continuité, on peut prouver que f(x) = r*x pour r rationnel.

Ensuite, pour pouvoir passer de "rationnel" à "réel", une des quatre conditions suivantes suffit :
(i) f est continue;
(ii) f est strictement monotone;
(iii) f est bornée sur un segment;
(iv) f est mesurable.

On a [(iii) ==> (i), (ii)] et [(iv) ==> (i), (ii)].

Tu demandes (iv) ==> (i).

On peut en fait prouver quelque chose de plus fort, à savoir :
si (f(x) + f(y))/2 >= f((x + y)/2) et f est mesurable, alors f est convexe.

Je veux laisser le plaisir à ceux qui sont intéressés de s'amuser avec ce que je viens d'écrire, aussi je ne posterai pas de solution tout de suite.

Mon cher mathman ce n'est pas par hasard que j'ai posté cet exercice dans la rubrique Agrégation et ce n'est pas aussi facile que tu le crois,je te laisse le soin de trouver toi même ton erreur.
Démonstration:
soit f(x) une fonction mesurable (L) satisfaisant pour tous x et y l'équation f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
Soit x_o un nombre réel donné,t un nombre positif donné quelconque,soit (a,b) un intervalle donné entourant x.D'après le théoreme de M.Lusin,il existe pour toute fonction mesurable f(x) et pour tout nombre positif u,en particulier pour u=(a-b)/3,une fonction F(x),continue(pour tous les réels x) et telle que l'égalité f(x)=F(x) (2) subsiste pour tous les nombres x de l'intervalle (a,b) sauf les nombres x formant un ensemble E de mesure<u.
La fonction F(x) étant continue, il existe pour le nombre t un nombre positif T=T(t)<u te lque l'inégalité IhI<T (3)entraîne pour les nombres x de (a,b) l'inégalité IF(x+h)-F(x)<t (4)
Soit h un nombre quelconque verifiant IhI<T,f(x)=F(x) subsiste pour tous les nombres x de (a,b) sauf les nombres de l'ensemble E de mesure <u nous avons alors f(x+h)=F(x+h) (5)subsiste pour les nombres x de l'intervalle (a,b) sauf les nombres x de l'ensemble G de mesure <u+IhI<u+T.
L'ensemble des nombres x de (a,b) pour lesquels ne subsiste une au moins des formule (2)et (5) a donc une mesure<m(E+G)<2u+T<3u<b-a.
Il en resulte qu'il existe dans (a,b) un point x (dépendant de h) pour lesquels subsistent à la fois les formules (2),(4) et (5).
Or (4) donne d'après (2)et (5) If(x+h)-f(x)I<t (6)
D'autre part d'après (1)nous avons:
f(x+h)=f(x)+f(h) et f(x_o+h)=f(x_o)+f(h) et donc f(x+h)-f(x)=f(x_o+h)-f(x_o)
L'inegalité (6) donne donc If(x_o+h)-f(x_o)I<t (7).
Nous avons donc démontré qu'il existe pour tout nombre x_o et tout nombre positif t un nombre T tel que l'inégalité (3)entraîne l'inegalité (7)ce qui démontre la continuité de la fonction f(x).
CQFD.

kaderov a écrit:

...

Mon cher mathman ce n'est pas par hasard que j'ai posté cet exercice dans la rubrique Agrégation et ce n'est pas aussi facile que tu le crois,je te laisse le soin de trouver toi même ton erreur.

...

Hmm? Où ai-je dit que c'était facile?
Et je ne vois pas d'erreur dans ce que j'ai dit, d'autant plus que je n'ai rien prouvé...

Maintenant, je suis d'accord que ton problème peut être vu comme une application du théorème de Luzin, mais ce n'était pas vraiment l'objet de mon premier message.

mathman a écrit:

On a [(iii) ==> (i), (ii)] et [(iv) ==> (i), (ii)].

Et c'est quoi ça!!!!

Où est le problème?

Je dis par exemple que si f(x+y) = f(x) + f(y) avec f bornée sur un segment, alors f est continue.

mathman a écrit:

Où est le problème?

Je dis par exemple que si f(x+y) = f(x) + f(y) avec f bornée sur un segment, alors f est continue.

Je ne vois pas le rapport avec l'exercice proposé!!!!!!!!!!
Ce n'est pas parce que tu es moderateur que tu te permets d'alterer les ennoncés!!!!!
L'ethique est de répondre à la question et ne pas donner de reponse et se permettre de proposer une autre question est inadmissible.
A bon entendant.

Oh, mais il faudrait peut-être songer à se calmer..

J'ai donné d'autres résultats en rapport avec ton énoncé, et ai même énoncé un résultat plus fort.

J'engage juste une discussion, je pense qu'un forum de maths est fait pour ça; d'autant plus que tu connaissais déjà une solution à ton problème, tu n'étais pas là pour demander de l'aide.

J'essaye toujours d'aider/de proposer d'autres idées etc., si mes réponses ne te conviennent pas, ou si tu ne les comprends pas, tant pis, mais cela ne m'empêchera pas de continuer à poster comme bon me semble.

Et, la prochaine fois, essaie de "baisser d'un ton"; l'éthique, pour te reprendre, comprend les règles de base en matière de courtoisie.
A bon entendeur.

Merci pour ta correction.
Ta réponse me prouve ton niveau civique.
A+