Problème de Septembre 2007

Soit d(n) le nombre des chiffres de n écrit en représentation décimale.
Evaluer la somme : (somme de n=1 à +00 ) 1/d(n)!

Salut,
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Salam ;
solution postée.


on pose:

tt d'abord on remarque que d(n)=E(log(n)+1)
preuve :facil a mdemontrer on remarquant seulemnt que 10^{E(log(n))+1}>n=10^{E(log'n)}>=10^{E(log(n))}.
♦maintenant retournons a Sn:

on remarque que:

tel que pour k fixé:
alors
remarquant que exp(x)=sum{k=0^+00}x^k/k!
on deduit :
sauf erreure de calculs ma part.
a+
Les formules n'apparaissent pas car ecrites en LATEX mais c'est juste

Champion

Salam ;
solution postée.

sigma(k=->n)1/d(n)!=9*1/1!+90*1/2!+900*1/3!+.....=9/10*(10^1/1!+10^2/2!+...+10^n*1/n!)
d'où lim(n->+00)sigma(k=1->n)(1/d(n)!)=10/9(exp(10-1)
NOTA BENNE: lim(n->+00)(1+a/1!+a^2/2!+....+a^n/n!)=exp(a).




Champion

Solution Postée
(Rebonjour à tous!!)


0..9
10..99
100..999

10*1 + 100*1/2! + 10^3*1/3! ..

Sn=sum( 10^n/n! ,n=1..inf )

Sn=e^10


Raa23

salut a tous
solution postée

salut a tous
voila ce que je propose
on a d(n) peut prendre toytes les valeurs entieres >0
de plus pour tout k de N* il existe exactement 10^k-10^(k-1) entiers
dont le nombre de chiffres est k
don notre somme S vaut S=(somme de n=1 à +00 ) 1/d(n)!
=(somme de n=1 à +00 ) (10^k-10^(k-1))/k!
et en utilisant la formule exp(x)=(somme de n=1 à +00 )(x^k/k!)
on obtient S=9(e^10-1)/10 (sauf erreur)
voila
aliaz


Champion

salut,
solution postée.
bonjour,
voici la solution du pb du mois de septembre ci-joint.
merci


Le fichier envoyé n'est pas accessible :
probléme de septembre.docx

salm a tous les participants
solution postée.

BSR voila la reponse du probleme de septembre 2007; j'espère qu'il sera correcte