ln

slt tout le monde.
je vous propose un ptit exercice:
-soit E l'ensemble des couples(a,b) tel que a et b deux nombres naturels distincts et:a^b=b^a.
1-montrer que si (a,b) apartient à E alors a#0 et b#0 et ln(a)/a=ln(b)/b.
2-on considère la fonction numérique définie sur l'interval ]0,+l'infinie[ par:f(x)=ln(x)/x.
a-2tudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.
b-soit m un nombre réel, déreminer géométriquement le nombre des solution de l'équation:f(x)=m.
3-déterminer l'ensemble E.

Quelles sont les questions où tu bloques?

Nota : Les solutions sont : (a,b) = (2,4)

non je ne me suis pas bloqué ,mais seulement je propose cet exercice(à ceux qui ont du temps).voila la suite :
2.è partie :
soit g la fonction numérique définie par:
g(x)=ln(1+x)/x;x>0 et g(0)=1
1-montrer que g est dérivable sur ]0,+l'infinie[ et déterminer g'(x) ,x>0
2- on pose h(x)=(x/1+x)-ln(1+x)
étudier les variations de h sur ]0,+l'infinie[ et en déduire les variatrions de g sur ]0,+l'infinie[
3-déteminer limh(x) ,x tend vers +l'infinie.
4-a)montrer que g est continue sur [0,+l'infinie[
-b)montrer que pour tout x de [0,+l'infinie[ : x-x^2/2<ln(1+x)<x-x^2/2 +x^3/3
-c)montrer que g est dérivable en 0 à droite et déterminer g'(0)
5- donner le tableau des variations de g et traçer la courbe représentative de g (dans le meme repère ou il y a la courbe de f(x) )
3.è partie :
soit n un nombre naturel non nul,on considère le système:
(Sn) k<x^k<k+1, k appartient à{1,2,3,...,n}
(Sn) est composé de 2n inégalités.
1- ecriver (S1),(S2) et (S3).résoudre ces systèmes dans R.
2-soit x un nombre appartient à R avec x>0
montrer que x est une solution à (Sn) si et seulement si: quel que soit k de{1,2,.......,n}; ln(k)/k<ln(x)<ln(k+1)/k
3-a)comparer :f(3) et g(5)
-b)déterminer le plus grand nombre naturel n pour que le système (Sn) admet au minimum une solution dans R.

amine a écrit:

non je ne me suis pas bloqué ,mais seulement je propose cet exercice(à ceux qui ont du temps)

Ah ok! Fallait le dire plus tôt
Oui, en effet, c'est assez intéressant, j'y ai consacré quelques pages dans mon cahier (à l'équation : a^b = b^a, sans passer par toutes les étapes que tu proposes)