Equation fonctionnelle

SOIT f la fonction definie de R vers R verifiant:
f(2x)=2f(x) et qui est dérivable en 0


Considérons une fonction g(x) telle que g(x)=f(x)/x
Après avoir montré que g(x)=g(x/2^n) ON nous demande de déduire que
g(x)=f'(0)

TRouver une fonction verifiant f(2x)=2f(x) pour tout x de R mais qui n'est pas dérivable en 0

Merci d avance pour votre aide

Ps:Y aurait il un lien dedié a la méthode de resolutions d equations fonctionnelles avec atsuces et méthodes ?

Death Note a écrit:

SOIT f la fonction definie de R vers R verifiant:
f(2x)=2f(x) et qui est dérivable en 0


Considérons une fonction g(x) telle que g(x)=f(x)/x
Après avoir montré que g(x)=g(x/2^n) ON nous demande de déduire que
g(x)=f'(0)

TRouver une fonction verifiant f(2x)=2f(x) pour tout x de R mais qui n'est pas dérivable en 0

Merci d avance pour votre aide

Ps:Y aurait il un lien dedié a la méthode de resolutions d equations fonctionnelles avec atsuces et méthodes ?

BJR Death Note et BJR à Toutes et Tous !!!
Je réagis à chaud à ce Post :
Vérifie rapidement que f(0)=0 en faisant x=0 dans la relation f(2x)=2.f(x) puis que g est alors continue en 0 et puis tu peux continuer .....
Pour la dernière question ; tu prends simplement la fonction de IR dans IR très connue
f(x)=|x| , il est clair que f(2x)=2.|x| et que f n'est pas dérivable en 0 , ce qui est connu de Tous !!
A+ Je réfléchis pour le reste de l'exo.....
petite Erreur dans ton énoncé :
<< ON nous demande de déduire que
g(x)=f'(0) >> Ne serait-ce pas g(0)=f'(0) ??????
EN EFFET PAS D'ERREUR D'ENONCE MEA CULPA

bonjour tt le monde
je complete la reponse de Mr oeil_de_lynx
c'est facile de monter que g(x)=g(x/2^n)
on prend x de R+:
en faisant tendre n a + l'infini on obtient
g(x)=lim g(y) quand y tend vers 0+ (car x/2^n tend vers 0+ quand n tend vers +00)
donc g(x)=lim f(y)/y=f'(0+)=f'(0-)=f'(o) car f est derivable dans 0
meme resonnement pour x de R-
j'espere que c'est juste

BJR Wiles !!
Tu peux prendre directement x<>0 , x fixé et travailler avec ce x là !!
Rien ne t'oblige à séparer x>0 puis x<0 d'autant plus que la récurrence est la MEME !!!!
A+

je pense que la separation des deux cas est necessaire car quand en fait tendre n a +00 x/2^n tend vers 0+ quand x est positif et a 0- quand xtend vers -00 pas moyen d'associer les deux cas
et pour le passage a la limite est-il juste?

NON Mr oeil de lynx j ai bien verifié l enoncé
C est g(x)=f'(0)

Je pense que Wiles a repondu a la question concernant g(x)=f'(0)
Je ne pense pas par contre que tu sois obligé d avoir recours a la disjonction des cas pour x

Death Note a écrit:

NON Mr oeil de lynx j ai bien verifié l enoncé
C est g(x)=f'(0)

OUI C'EST VRAI
JE ME SUIS TROMPE !!!!!!!!
J'AVAIS PREVENU QUE JE REAGISSAIS A CHAUD
J'ai rectifié au dessus dans mon Post.
MERCI Death Note pour l'exo interessant !!!
A+

Re-BJR Toutes et Tous !!!
En fait , il n'y a pas d"erreurs d'énoncé et , par ailleurs , ce que j'ai avancé n'est pas faux !!
Partant de g(x)=f(x)/x et sachant que f(0)=0 et que f est dérivable en 0 , alors g(x) se présente comme un Quotient Différentiel
{f(x)-f(0)}/{x-0} qui tend vers f'(0) lorsque x-------> 0 x<>0
Ainsi on a nécessairement :
Limg(x) existe et vaut f'(0) qd x---->0
On peut prolonger par continuité g au point x=0 en posant g(0)=f'(0)

2ème étape : on montre que g(x)=g(x/2^n) par récurrence sur n et pour x fixé x<>0 et en fin on fait tendre n vers +00 en utilisant la continuité de g en 0 pour conclure que g(x)=f'(0) pour tout x et ainsi g est constante sur IR de valeur f'(0).
A+

Death Note a écrit:

TRouver une fonction verifiant f(2x)=2f(x) pour tout x de R mais qui n'est pas dérivable en 0

Bonjour,

Je n'ai rien à ajouter à ce qui a été dit sur la première partie de la question.

Sur la deuxième (trouver un exemple), il y a de nombreux exemples :

Si on note {x} la partie fractionnaire de x (x-[x], ou encore x moins partie entière de x), et h(x) une fonction non constante définie sur [0,1[, alors :

f(x)=xh({log2(|x|)}) pour x non nul et f(0)=0 est un exemple de fonction qui vérifie f(2x)=2f(x) pour tout réél x et qui n'est pas dérivable en 0 (puisque h(x)/x balaie h([0,1[) quand x tend vers 0 et que h n'est pas une fonction constante).

Si on prend h définie et continue sur [0,1], et telle que h(0)=h(1), la fonction f obtenue est même continue sur R :

Exemple 1 : h(x)=x ==> f(x)=x {log2(|x|)} et f(0)=0
Exemple 2 : h(x)=(2x-1)^2 ==> f(x)=x(2{log2(|x|)}-1)^2 et f(0)=0 continue sur R

...

--
Patrick