problème N°19 de la semaine (06/03/2006-12/03/2006 )

salut
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Merci

Bonjour
Solution postée

voici la solution de abdelbaki.attioui

si q=2, alors 1+3+...+(2p-1) = p(p-1)+p=p²
si q>2, on considére le nombre entier pair : p(p^{q-2}-1)-2 =2n . On
a alors:

(somme de k=n+1 à n+p) (2k+1)= (somme de k=1 à p) (2n+2k+1)
=2np+p(p+1)+p=p^q
A+

solution postée
voici la solution de Yalcin
Pour tout p de IN*\{1} , 2|(p(p^(q-2)-1)) et soit (p(p^(q-2)-1))/2=a , alors on a :
sum(2a+(2i-1),i=1..q)=p^q et 2a+(2i-1) est bien impair et consécutivité existe suivant i.

solution postée
voici la solution de pivot_de_gauss
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
...............................

1+3+5+..........+2p-1=p² donc on prend q=2. Montrons ce résultat par
récurrence.

C'est vrai au premier rang (1+3=2²). Supoposons que c'est vrai au rang
p et
montrons le au rang p+1.

1+3+5+..........+2p-1=p² < => 1+3+5+....+(2p-1)+(2p+1)=p²+2p+1=(p+1)²

ce qui montre que c'est vrai au rang p+1. D'où le résultat.

salut,

salut,

p = 2 et q = 3 .

p^q = 8 => 1+2+3 = 8 mais 2 est paire .

merçi d'avance pour toute reponse instructive

je voudrais dire que pour p = 2 ; q = 3 on a : p^q = 8 ?

y a pas de nombres impaire conscecutifs qui donne ce resultat .

toetoe a écrit:

je voudrais dire que pour p = 2 ; q = 3 on a : p^q = 8 ?

y a pas de nombres impaire conscecutifs qui donne ce resultat .

3+5?

merçi pour la rectification,j'avais pas bien lu l'enonce.

Pas grave, ça arrive à tout le monde.

Salam les matheux..
Solution postée, et prenez soin
voici la solution de GOOOOD
La somme de p nombres impairs consécutifs s'écrit
donc:
k0-1
A = Sigma(2k+1)
k=k0-p
Bien entendu, pour avoir une 'somme', le p doit
être supérieur à 1.
k0-1
A = 2Sigmak + p
k=k0-p
k0-1 k0-p-1
= 2(Sigmak - Sigmak) + p
k=0 k=0
= k0(k0-1)-(p-k0-1)(p-k0)+p
= k0²-k0-p²-k0²+2pk0-p+k0+p
=p(2k0-p)
Et donc, pour tout nombre p^q, il suffit de prendre
k0=(p^(q-1)+p)/2, pour avoir les nombres que l'on
veut. Là encore, on note que le q doit aussi être
supérieur à 1 (p+1 ne peut être divisé par 2).
Pour la division par 2, si p est impair, sa
puissance l'est aussi, leur somme est donc paire..
S'il est pair, pareil.
Il me semble que ceci fera l'affaire..
Salam donc, et à très bientôt

solution postée !
voici la solution de le_duche
Si je suis en retard (fin de semaine) il faut me pardonner, je viens de
découvrir ce forum...

Voici ma solution:

Lemme préléminaire:
Calculons
h = 1+3+5+...+(2n-1) (pour n € INo)
on a
h = (1+2+3+4+5+6+...+(2n-1)+2n) - 2(1+2+3+...+n)
En applicant la formule bien connue qui dit que la somme des m premiers
entiers non nul vaut m(m+1)/2, on trouve que
h = 2n(2n+1)/2 - 2n(n+1)/2
h = n(2n+1) - n(n+1) = n(2n+1-n-1) = n²
On a donc montré l'égalité suivante:
1+3+5+7+...+(2n-1) = n² pour tout n € INo

Soient p et q des entiers strictements plus grands que 1.
on voudrait montrer qu'il existe un entier strictement positif k tel
que
p^q = (2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+...+(2k+(2p-1))
On note S cette somme d'entiers impairs consécutifs.
On voit tout de suite que
S = p(2k)+1+3+5+...+(2p-1)
Par le lemme montré ci-dessus, on a
S = p(2k)+p²

Il nous faut donc montrer qu'il existe un entier k positif ou nul tel
que
p^q = 2kp+p²
ce qui peut se simplifier en
p^(q-1) = 2k+p
On peut encore reformuler cette égalité en
p^(q-1) - p = 2k

On a donc simplifié notre problème, et l'on voit qu'il nous reste à
démontrer
d'une part que p^(q-1) - p est pair (ce qui impliquerait l'existence
d'un
tel entier k)
d'autre part que p^(q-1) - p >= 0 (ce qui montrerait que k est un
entier
positif ou nul).

Supposons p impair, alors p^(q-1) est encore impair (puisque q>1) et on
a
alors affaire à la différence de deux impairs qui est paire.
Supposons que p soit pair, alors selon le meme raisonnement, on a la
différence de deux nombres pairs qui est encore paire.
On a donc montré que k existe.
Il reste à montrer que p^(q-1) - p >= 0:
on peut écrire
p^(q-1) - p = p(p^(q-2) - 1)
et comme on sait que p est positif, il nous reste à montrer que
p^(q-2) - 1 >= 0
ce qui peut encore s'écrire comme
p^(q-2) >= 1
ou encore
p^(q-2) > 0
Ce qui est évident lorsque l'on sait que p > 0.

J'espère que cette démonstration vous aura plu !

Duche.

mt2sr a envoyé sa solution le 29 Mar 2006 12:14, mais il a oublié d'ecrire solution postée voici sa solution
bonjour
pour q=2 on'a p^2=1+3+...+2(p-1)+1
on suppose que p^q=(2V1+1)+.....+(2Vp+1)
p^(q+1)=(2pV1+p)+.....+(2pVp+p)
=(2pV1)+....+(2pVp)+p^2
=[2(pV1)+1]+[2(pV1+1)+1]+.....+[2(pVp+p-1)+1]
mt2sr

salut! Il nous faut des correcteurs pour dire quelles sont les bonnes solutions. Merci d'avance

pivot_de_gauss a écrit:

salut! Il nous faut des correcteurs pour dire quelles sont les bonnes solutions. Merci d'avance

cela veux dire que ta pas compris la solution du problème ??
l'erreur dans ta solution viens du fait que ta considérer q=2 et tu as fait une reccurence sur p