29

soient x,y,z des integre tel que 29lx^4+y^4+z^4
montrer que 29^4lx^4+y^4+z^4

kalm a écrit:

soient x,y,z des integre tel que 29lx^4+y^4+z^4
montrer que 29^4lx^4+y^4+z^4

Il est assez rapide de voir que x^4 ne peut prendre comme valeurs modulo 29 que 0, 1, 7, 16, 20, 23, 24, 25.
Dès lors pour avoir une somme nulle :
0+0 ==> 0 OK
0+1 ==> 28 NOK
0+7 ==> 22 NOK
0+16 ==> 13 NOK
0+20 ==> 9 NOK
0+23 ==> 6 NOK
0+24 ==> 5 NOK
0+25 ==> 4 NOK
1+1 ==> 27 NOK
1+7 ==> 21 NOK
1+16 ==> 12 NOK
1+20 ==> 8 NOK
1+23 ==> 5 NOK
1+24 ==> 4 NOK
1+25 ==> 3 NOK
7+7 ==> 15 NOK
7+16 ==> 6 NOK
7+20 ==> 2 NOK
7+23 ==> 28 NOK
7+24 ==> 27 NOK
7+25 ==> 26 NOK
16+16 ==> 26 NOK
16+20 ==> 22 NOK
16+23 ==> 19 NOK
16+24 ==> 18 NOK
16+25 ==> 17 NOK
20+20 ==>18 NOK
20+23 ==> 15 NOK
20+24 ==> 14 NOK
20+25 ==> 13 NOK
23+23 ==> 12 NOK
23+24 ==> 11 NOK
23+25 ==> 10 NOK
24+24 ==> 10 NOK
24+25 ==> 9 NOK
25+25 ==> 8 NOK

Seule solution x=y=z=0 modulo 29 et donc 29^4 divise x^4, y^4 et z^4, et donc leur somme x^4+y^4+z^4

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Patrick