Vandermonde

les lambda_i sont des complexes tels que :

Montrer que ces lambda_i sont tous nuls

Avec Vandermonde ? c'est peut -être compliqué.
En tout cas avec Newton c'est direct.

lolo

Peux-tu détailler un peu plus lolo

Voilà :

Q(X)=(X - a1)...(X-an) = X^n - s_1 X^{n-1} +....(-1)^i s_i X^{n-i} +...+ (-1)^n s_n

Définissent les fonctions syméytiques élémentaires des racines s_i .

Or si j'appelle p_k la somme des puissances kièmes de a_1,..., a_n

comme Q(a_i) = 0 on a facilement les relations de Newton :

pour k =< n :
p_k - s_1p _{k-1} +...(-1)^k k s_k = 0
donc si tous les p_k sont nuls , il en est de même des s_k donc des coefficients de Q donc tous les a_i sont nuls .

On montre par cette même preuve qu'une matrice dont la trace des n premières puissances est nulle est forcément nilpotente.

Par Vandermonde ? on obtient facilement deux coefficients égaux mais ensuite ?

lolo

On prend seulement les lambdai_i non nuls de multiplicité ai notés bi
c-à-d bi=lmbda_i répété ai fois dans ce cas les bi sont 2à2 distincts.

Alors (somme de 1 à p) ai bi^k=0 pour tout k de 1 à p

Soit V ( 1,b1,...,bp) la matrice de VANDERMONDE. Elle est inversible.

V ( a1b1,a2b_2, ...,apbp)= (0,0,..,0) alors aibi=0 pour tout i

oui tout à fait ça marche bien , merci !

lolo