exo d'analyse

etudier la continuite de la fonction f definie sur ]0,1] par:
f(x)=0 (x£R-Q)
f(x)=1/(p+q) (x£Q) et p/q l'ecriture reduite de x
bonne chance

BJR Wiles !!!
Exo difficile et qui trouve sa place ici !!!
MERCI ENCORE DE L'AVOIR POSE
La fonction que tu proposes est :
Discontinue en tout de Q et de ]0,1] .

En effet , si xo est un tel point alors on sait construire une suite de nombres IRRATIONNELS de ]0,1] qui converge vers xo ; cela résulte de la DENSITE de Q dans IR
<< Dans tout intervalle ]a,b[ non vide de IR , il y a une infinité de RATIONNELS et une infinité d'IRRATIONNELS >>
Soit donc {an}n cette suite d'irrationnels de ]0,1] qui converge vers xo alors on a pour tout n , f(an)=0 et donc :
Lim f(an)=0 lorsque n--->+oo et cette limite est <> de
f(xo)=1/(p+q) (si xo=p/q de manière réduite )
Cela c'est la partie facile !
La 2ème Partie suivra !
A tut

2ème Partie .
La fonction que tu proposes est :
Continue en tout de IR\Q et de ]0,1] .

En effet , soit xo irrationnel dans ]0,1]
et soit A un réel arbitraire A>0
il existe , d'après l'Axiome d'Archimède , un entier positif q tel que (1/q) < A .
Considérons les fractions de la forme (k/q!) et prenons p le plus grand des entiers k t.q (k/q!)<=xo<((k+1)/q!)
p est tout simplement la partie entière de xo.q! ; on a donc :
(p/q!)<=xo<((p+1)/q!)
On pose a= p/q! et b=(p+1)/q!
Tout élément x de I=]a,b[ vérifie :
ou bien x est irrationnel et alors f(x)=0
ou bien x est rationnel s'écrivant sous la forme réduite x=s/t
et son dénominateur t doit etre strictement supérieur à q
En effet si t<=q , on devrait avoir
p/q! < x < (p+1)/q! donc p < q!x < (p+1)
Or q!/t est un entier car t<=q donc q!x=s.(q!/t) est un entier STRICTEMENT COMPRIS entre 2 entiers consécutifs ; ce qui est ABSURDE !!
Donc t>q .
Il en résultera que :
0 < f(x)=1/(s+t) <1/t <1/q < A
Si on pose enfin B=(1/2).Inf{b-xo,xo-a} ,on aura :
|f(x)-f(xo)|=|f(x)| < A

CONCLUSION : Pour tout A>0 il existe B>0 tel que
|x-xo| < B ======>|f(x)-f(xo)| < A
C'est bien la définition de la continuité de f en xo !!!!!!
A+ LHASSANE