5 exos d'arithmetique (exo 1)

Exercice 1

1: Démontrez que, pour tout entier naturel n: 2^3n-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 2^(3n+1)-2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2)-4 est un multiple de 7.

2: Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3: Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2^p + 2^2p + 2^3p. a)
Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.

4: On considère les nombres a et b écrits dans le système binaire: a = 1001001000 et b = 1000100010000.
Vérifiez que ces deux nombres sont des entiers de la forme Ap.
Sont-ils divisibles par 7?

Mahdi a écrit:

Exercice 1

1: Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7.

2: Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3: Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p. a)
Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.

4: On considère les nombres a et b écrits dans le système binaire: a = 1001001000 et b = 1000100010000.
Vérifiez que ces deux nombres sont des entiers de la forme Ap.
Sont-ils divisibles par 7?

je crois qu'il faut ecrire 2^(3n)-1 multiple 7?

2=1[7]===>2^3n-1=0[7]?

1) les congruences modulo 7

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

Exercice 1

1: Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7.

2: Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3: Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p. a)
Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.

4: On considère les nombres a et b écrits dans le système binaire: a = 1001001000 et b = 1000100010000.
Vérifiez que ces deux nombres sont des entiers de la forme Ap.
Sont-ils divisibles par 7?

je crois qu'il faut ecrire 2^(3n)-1 multiple 7?

non 23n-1

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

Exercice 1

1: Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7.

2: Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3: Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p. a)
Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.

4: On considère les nombres a et b écrits dans le système binaire: a = 1001001000 et b = 1000100010000.
Vérifiez que ces deux nombres sont des entiers de la forme Ap.
Sont-ils divisibles par 7?

je crois qu'il faut ecrire 2^(3n)-1 multiple 7?

non 23n-1

posent n=1

22 n'est pas un multiple de 7,

Oui oui c'était 2^3n merci badr

Mahdi a écrit:

Oui oui c'était 2^3n merci badr

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

Oui oui c'était 2^3n merci badr

allez

c juste seulement pour n=1.
parceque pour que 7 sera diviseur de2^3n,il faut que 7 sera diviseur de 2. et c po possible.
tu vois?

non c'est pas 2^3n c'est plutot 2^3n -1

il suffit de factoriser ( identité remarquable) (2^3)^n-1

a^n-b^n= (a-b)(...)

n'allez pas tres loin

2^3 = 1 [7] ....

Mahdi a écrit:

n'allez pas tres loin

2^3 = 1 [7] ....

T'as répondu là