5 exos d'arithmetique(exo2)

Exercice 2

Partie A
On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminez l'ensemble des couples ( a ; b ) d'entiers naturels admettant pour somme 11 994 et pour PGCD 1999.

Partie B
On considère l'équation (E) d'inconnue n dans N: (E) : n2 - Sn + 11994 = 0 où S est un entier naturel.
On s'intéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans IN.
1: Peut-on déterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E)?
Si oui, précisez la deuxième solution.
2: Peut-on déterminez un entier S tel que 5 soit solution de (E)?
3: Montrez que tout n solution de (E) est un diviseur de 11 994.
Déduisez-en toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.

Partie C
Comment montrerait-on que 1999 est un nombre premier? Précisez le raisonnement employé.

on considère( a.b )solution de E.on:

ab=11994
a+b=s=11994
et a^b=1999
alors:il existe k,k' de N avec S=1999(k+k')=6*1999
a et b ont des roles simitrique:alors
S={(1999.9995).(9995.1999).(3998.7996).(5997.5997).(7996.3998)}

2) non
parce que 1999 ne divise pas 5

c'est ça?
et merci mehdi et badrpour la prticipation.

On admet que 1999 est un nombre premier

Première remarque: Comme PGCD( a ; b ) = 1999,
et que (a+b) = 11 994,
il faut commencer par rechercher le quotient de
11 994 par 1999, 11 994 doit être lui aussi divisible par 1999.
Or, 11 994 = 1999*6.
De plus, dire que PGCD(a;b) = 1999 revient à dire qu'il existe k et k' entiers naturels premiers entre eux tels que:
a = k*1999
et
b = k'*1999

Le problème revient à chercher les entiers naturels k et k' premiers entre eux tels que:
(k+k')*1999 = 11 994
Donc, tels que (k+k' = 6). Les seules solutions possibles sont: (1 ; 5) et (5 ; 1 ) car (2;4) et (3 ; 3) avec ses role de symetrique ne donne pas des entiers premiers entre eux.
D'où, l'ensemble des couples (a ; b ) solutions:

{ ( 1999 ; 9995 ) ; (9995 ; 1999) }

samrota a écrit:

c'est ça?
et merci mehdi et badrpour la prticipation.

oui tres bien c'est le meme resultat

samrota a écrit:

on considère( a.b )solution de E.on:

ab=11994
a+b=s=11994
et a^b=1999
alors:il existe k,k' de N avec S=1999(k+k')=6*1999
a et b ont des roles simitrique:alors
S={(1999.9995).(9995.1999).(3998.7996).(5997.5997).(7996.3998)}

OUI BADR MERCI BCP.G PO FAIS attention pour k^k'=1
.
bonne chance à tt le monde