exercice facile à faire

on a x+y=1 x et y positive
demontre que (1+1/x)(1+1/y)>=9

salut on a
1+1/x=2+y/x
1+1/y =2+x/y
donc
(1+1/x)(1+1/y)=4+2(y/x+x/y)+1
x/y+y/x>=2
alors
(1+1/x)(1+1/y)>=9

oui c'est juste voila une autre solution
(1+1/x)(1+1/y)-9=(1+xy+x+y-9xy)/xy
1+xy+x+y-9xy=2(x+y)-8xy puisque x+y=1 donc (x+y)²=1=x+y
donc il va egale 2((x+y)²-4xy))>=0
car (x+y)²>=4xy alors (1+1/x)(1+1/y)>=9

mohamed_01_01 a écrit:

on a x+y=1 x et y positive
demontre que (1+1/x)(1+1/y)>=9

lol une autre méthode

d'après Cauchy Shwarz



Or

donc

d'ou le résultat
A+

mohamed_01_01 a écrit:

on a x+y=1 x et y positive
demontre que (1+1/x)(1+1/y)>=9

autre methode

(1+1/x)(1+1/y)=1+1/y +1/x +1/xy
on a 1/x +1/y>= 4/(x+y)
et 1/xy>4/(x+y)^2
don (1+1/x)(1+1/y)>1+4+4=9

en voila une autre:
f(x)=ln(1+1/x)
f est convex alors lln(1+1/x)+ln(1+1/y)>2f(x/2+y/2)=2ln(3)=ln(9)
==> (1+1/x)(1+1/y)>9

c'est quoi ln ?

mohamed a écrit:

c'est quoi ln ?

c'est le logarithme néperien

mohamed_01_01 a écrit:

on a x+y=1 x et y positive
demontre que (1+1/x)(1+1/y)>=9

vous pouvez aussi la démontrer en etudiant la fonction
f(x)=(1+1/x)(1+1/(1-x))

oui ça sera aussi facile Mr Samir
on utidie la fonction derivé f'(x) et on trouve que f et croissante
et la valeur minimale sera 9

je pense que tu dois préciser que x et y sont strictements positifs plutôt que x et y positifs

dans ce cas on a:
(1+1/x)(1+1/y)=(2+y/x)(2+x/y)
=5+2(x/y+y/x)
<=9 car x/y+y/xSUPou=2
d'ou le résultat!!!!!!!!!