récurrence

Sujet: récurrence Mar 18 Sep 2007, 18:21

Boujour, pouvez vous m'aider pour cet exercice assez difficile svp??
J'ai vraiment beaucoup de mal avec la récurence....

(Un) est la suite définie par Uo=1 et pour tout entier naturel n,
U(n+1)= Un +2n+3.
1) Etudier la monotonie de la suite (Un).
2) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un>n².

Sujet: Re: récurrence Mar 18 Sep 2007, 20:53

slt
pour la monotonie:
1)U(n+1)= Un +2n+3<==>U(n+1)-Un =2n+3 >0
donc U(n+1)>=Un donc Un croissante.
2)ona:
U(n+1)-Un=2n+3.
U(n)-U(n-1)=2(n-1)+3.
.
.
.
.
U1-U0=2+3
en sommant:
U(n+1)=2(1+2+..+n)+3(n+1)
U(n+1)=n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(n+3)
donc;
Un=n(n+2)>n²

Sujet: Re: récurrence Mar 18 Sep 2007, 21:02

autre dem;
2- c'est pour tout n >o)
récurrence sur n
pour n=1 on a u_1= 6>1² vrai
supposons que pour n de IN* on a u_n > n²
alors ; u_(n+1)= u_n +2n+3 > n²+2n+1
ie u_(n+1) > (n+1)²

Sujet: Re: récurrence Mar 18 Sep 2007, 21:03

1] en etudiant la difference U(n+1)-Un:
on trouvent que : U(n+1)>Un
donc Un tazayodiya

2] on a : Uo = 1 est vrai
alors on présuppose que Un>n²
et on montre que U(n+1)>(n+1)²
... on a Un>n² <==> Un+2n+3>n²+2n+3 <==> U(n+1)>(n+1)²+2
et parce que (n+1)²+2>(n+1)²
alors U(n+1)>(n+1)²

cé tt ... Smile

Sujet: Re: récurrence Mer 19 Sep 2007, 17:55

Merci pour votre aide, c'est sympa!