Fonctions associées très étranges

Bonjour, voilà un exercice que la prof nous a donné pour demain et que je ne comprend pas mais alors pas du tout.

Citation :

Prouvez que f et g sont associées :
f(x) = -4/x ; g(x) = (x-1)/(x+3)
Indication : vous prouvez trouver que alpha et beta tels que
f(x) = g(x - alpha)+beta

J'arrive très bien sur des exemples tels que :

f(x) = x^2-6x+5 ; g(x) = x^2

Mais pas sur ce qu'elle nous a donné

Merci d'avance

BSR Samy !!!
C'est encore SIMPLE !!
Calcules g(x-alpha)+beta
En faisant calmement ce calcul , tu trouveras :
g(x-alpha)+beta=(x-alpha-1+beta.x-alpha.beta+3beta)/(x-alpha+3)
Ecris enfin que celà doit etre égal à -4/x et tu trouveras :
alpha=3 puis beta=-1
Sauf Erreurs Bien Entendu !!!
A+

J'ai rectifié , c'est une mauvaise frappe !!!

Bonsoir et merci

g(x-alpha)+beta=(x-alpha-1+beta;x-alpha.beta+3beta)/(x-alpha+3)


J'ai pas bien compris cette ligne :8 surtout le :

alpha.beta serait - ce alpha*beta, si oui alors c'est étrange

Si vous pouviez me détailler les calculs (car je suis un peu perdu )

Merci pour tout et d'avance

Personne n'a d'idée ?

J'ai rectifié , c'est une mauvaise frappe !!!
Bon !! Reprenons !!
Je pose alpha=s et beta=t donc je veux calculer :
g(x-s)+t =[(x-s-1)/(x-s+3)]+t
On réduit au même dénominateur :
g(x-s)+t=[(x-s-1)+t.(x-s+3)]/(x-s+3)
=[x-s-1+tx-ts+3t]/(x-s+3)=[(1+t)x-s-1-ts+3t]/(x-s+3)=N/D
et on veut que ce soit égal à f(x)=-4/x
Donc sans aller trop loin !!! :
Si on prend s=3 alors D=x
puis N=(1+t)x-s-1-ts+3t=(1+t)x-3-1-3t+3t=(1+t)x-4
il suffira de choisir maintenant t=-1 pour que N=-4 et de là
N/D=-4/x ce que l'on désirait !!!
A+ LHASSANE

Merci mais tout ceci reste confus pour moi

Encore une fois merci Mais je vais laisser cette exo (vu que j'ai tout fait sauf ca) la prof nous expliquera demain

Merci encore

Merci, la prof nous a expliqué et nous a indiqué 2 méthodes, vous avez utilisé la première J'ai compris mais D c'est béta c'est ca ?

Pour béta = x ?

Pouvez vous refaire ceci mes avec la méthodes style :

g(x) = f(x-alpha)+beta

g(x) = ...

Merci d'avance

Samy a écrit:

Merci, la prof nous a expliqué et nous a indiqué 2 méthodes, vous avez utilisé la première J'ai compris mais D c'est béta c'est ca ?

Pour béta = x ?

Pouvez vous refaire ceci mes avec la méthodes style :

g(x) = f(x-alpha)+beta

g(x) = ...

Merci d'avance

Dans ma réponse +haut beta=t
Si tu veux refaire le calcul , ce n'est pas dur dur ; tu trouvera alpha=-3 et beta =1 ce qui est un peu NORMAL car :
si tu passes de Cf à Cg par translation de vecteur V(alpha , beta ) alors tu passeras de Cg à Cf par translation de vecteur W=-V
CONCLUSION : ton calcul te conduira à alpha=-3 et beta=1
A+ LHASSANE

alpha n'est pas égal à 3 ?

EDIT: non c'est bon, c'est bien -3 ! Je refais le calcul et je post ici

Bon je calcul :

a étant alpha et b béta !

g(x) = f(x-a)+b
g(x) = (x-1-4)/(x+3)
g(x) = [(x-1)/(x+3)] + [(-4)/(x+3)]

Et là j'arrive pas à continuer (je sais à vu d'oeil que a = -3 mais pour b comment dois-je continuer ?)

Merci d'avance (et pour tout depuis le début )

Samy a écrit:

Bon je calcul :

a étant alpha et b béta !

g(x) = f(x-a)+b
g(x) = (x-1-4)/(x+3)
g(x) = [(x-1)/(x+3)] + [(-4)/(x+3)]

Et là j'arrive pas à continuer (je sais à vu d'oeil que a = -3 mais pour b comment dois-je continuer ?)

Merci d'avance (et pour tout depuis le début )

BON !!!!
Calculons f(x-a)+b
f(x-a)+b=-(4/(x-a))+b On réduit au même dénominateur
f(x-a)+b=(bx-ab-4)/(x-a) On écrit que cela vaut g(x)
(bx-ab-4)/(x-a)=(x-1)/(x+3)
On écrit que le
Produit des Moyennes est égal au Produit des Extrêmes :
(bx-ab-4).(x+3)=(x-a).(x-1) Soit :
x^2-(1+a)x+a=bx^2+(3b-ab-4)x-3ab-12 Cela exige donc :
b=1 Egalité des coeffivients de x^2 dans les 2 membres , puis
-(1+a)=3b-ab-4 c.à.d -(1+a)=-a-1 qui ne donne apparemment rien et enfin : a=-3ab-1-3a-12 d'ou 4a=-12 et de là a=-3
Voili-voilà !!!
A+ LHASSANE

C'est super sympa (en tout cas vous avez de la patience avec moi) Mais... je n'ai toujours pas compris avec cette méthode.

Je vais vous donner la méthode que je comprend par un exemple simple et concret :

f(x) = 2/x ; Df = R* ; g(x) = (x+1)(x-1) ; Dg = R - { 1 }

g(x) = f(x-a)+b
= (2/(x-a))+b
=(x-1+2)/(x-1) = [(x-1)/(x-1)]/[2/(x-1)]
=1 + 2/(x-1)

a = 1 et b = 1

Si vous pouviez me faire la même chose avec ma question, ce serait formidable. Car en fait (je me répète) vous utilisez "la seconde méthode" or en classe on a expliqué la première (sinon le produit des moy = prod extrem, on a pas vu )

Merci d'avance

OK Samy !!!!
J'ai une patience de pachyderme !!!!!
On écrit :
g(x)=(x-1)/(x+3)
On réécrit x-1=(x+3)-4
D'ou g(x)=[(x+3)-4]/(x+3)
g(x)={(x+3)/(x+3)} - 4/(x+3)=1+f(x+3)

CONCLUSION :a=-3 et b=1
C'est celà que tu veux ??
L'astuce c'est x-1=(x+3)-4
A+ LHASSANE

Je suis vraiment désolé Je n'ai toujours pas compris ce qui me gène c'est ca :

On réécrit x-1=(x+3)-4
D'ou g(x)=[(x+3)-4]/(x+3)

Je ne vois pas le rapport entre les deux lignes

Sinon pouvez vous (s'il vous plait ) commencer par

g(x) = f(x-a)+b

et ensuite remplacer tout ca par les valeurs car je suis totalement perdu. Autant en classe je comprend tout du premier coup autant ici je suis perdu

Merci pour tout et d'avance

Samy a écrit:

Je suis vraiment désolé Je n'ai toujours pas compris ce qui me gène c'est ca :

On réécrit x-1=(x+3)-4
D'ou g(x)=[(x+3)-4]/(x+3)

Je ne vois pas le rapport entre les deux lignes

Sinon pouvez vous (s'il vous plait ) commencer par

g(x) = f(x-a)+b

et ensuite remplacer tout ca par les valeurs car je suis totalement perdu. Autant en classe je comprend tout du premier coup autant ici je suis perdu

Merci pour tout et d'avance

g(x)=(x-1)/(x+3)=(x+3-4)/(x+3)=(x+3/x+3)-4/(x+3)=1-4/(x+3)
Propriété utilisée:
(A+B)/C=(A/C)+(B/C)
VOILA !!!
A+

Vous êtes un génis ou alors je suis un abrutis (je préfère la première solution ) Je viens de saisir le sens de :

x+3-4)/(x+3)

Je me demandais où était passé x-1 mais x+3-4 = x-1

lol

Merci beaucoup, vous êtes une aide précieuse

Respect...

Cela me fait plaisir que tu aies enfin saisi l'astuce !!!!
x-1 c'est le Numérateur de g(x) Voilà !!!!
A+

Merci encore (sujet clos jusqu'au prochain problème )