exercice simplification

salut tout le monde

j'ai trouvé cet exercice en olympiade de meknes mais j'ai po pu le resoudre
l'exercice est
ecris le nombre
sous forme de



merci d'avance

Je ne trouve pas.
Quelqu'un pourrait-il donner la correction?

Alors, personne?

alpha et beta sont ils des nombres reels??

On pose t=racine(3). On cherche a et b rationnels tels que:

((a+bt)²-5/4)²=7-2t
(a+bt)^4-5(a+bt)²/2+25/16=7-2t

a^4+9b^4+6a^3bt+30a²b²+18ab^3t+.....

on a pas droi de fér juste ([img]https://2img.net/r/ihimizer/img158/4277/maths6rr.png)²??

Bonjour,

L'énoncé est probablement faux.
En effet, il n'a d'intérêt que si alpha et beta sont rationnels.
Mais il n'existe pas de rationnels p et q tels que :

p+q*racine(3) = racine(5/4 + racine(7 - 2racine(3)))

En effet :
Si : racine(5/4 + racine(7 - 2racine(3))) = p + q*racine(3) avec p et q dans Q,
Alors : 5/4 + racine(7 - 2racine(3)) = p' + q'*racine(3) avec p' et q' dans Q
Et : racine(7 - 2racine(3)) = a+ b*racine(3) avec a et b dans Q

Et donc : a^2 + 3b^2 = 7 et 2ab = -2
Soit : a^4 + 3a^2b^2 = 7a^2 et ab = -1
Donc : a^4 - 7a^2 + 3 = 0
Donc : a^2 = (7 +/- racine(37))/2
Donc : a^2 est irrationnel
Donc : a est irrationnel

CQFD

Patrick