la recherche de deux entiers

trouver tous les couples (p , q) d'entiers naturels qui vérifient:

pour tout entier naturel n , (1+2+...+n)^p=1^q+2^q+...+n^q

C'est du réchauffé !!
Cela a été déjà posé sur le Forum !!!
p=1 et q=1 font l'affaire déjà !!!
Aucune solution complète n'a été donnée à l'exo .
A+ LHASSANE

(p=q=1) et ( p=2 et q=3) sont les seuls solutions.

mais la preuve?

on considère les deux polynômes en n (n entier naturel)
P(n)=(1+2+...+n)^p
et Q(n)=1^q+2^q+...+n^q
on a: P(n)=(n(n+1)/2)^p donc deg(P)=2p
et on a: deg(Q)=q+1 (pas facile à le montrer il faut savoir un peu sur les polynômes factoriels)
on déduit donc que 2p=q+1 .
d'où les seules couples sont (1, 1) et (2 , 3)........

je sais que je sais rien a écrit:

on considère les deux polynômes en n (n entier naturel)
P(n)=(1+2+...+n)^p
et Q(n)=1^q+2^q+...+n^q
on a: P(n)=(n(n+1)/2)^p donc deg(P)=2p
et on a: deg(Q)=q+1 (pas facile à le montrer il faut savoir un peu sur les polynômes factoriels)
on déduit donc que 2p=q+1 .
d'où les seules couples sont (1, 1) et (2 , 3)........

Salut <<JSQJSR >>
Je n'ai pas de difficultés intellectuelles à comprendre que :
P(n)=(1+2+...+n)^p ={(1/2).n.(n+1)}^p=(1/2)^p.(n^2-n)^p est un polynôme en n et même de degré 2p . Cela passe bien !!!
Par contre , il m'est DIFFICILE de CONCEVOIR que :
Q(n)=1^q+2^q+...+n^q en est UN , et en outre quel serait son degré ???
Tu sussures des polynômes factoriels ??? Kézaco ?? Jamais entendu parler !
A+ LHASSANE

c'est un peu d'algèbre
car le polynôme P(n)=1^q+2^q+...+n^q se décompose dans une base de polynômes factoriels car n^q s'écrit comme une combinaison linéaire de q+1 polynômes factoriels.

polynôme factoriel a pour forme Fp(X)=X(X-1)(X-2)...(X-p+1).

Merci pour la précision !!
On a l'habitude de manipuler dans E(n+1) e.v des polynômes de IR[X]
de degré <=n et du polynôme nul la
BASE NON STANDART
formée de :
1
X
X(X-1)
X.(X-1).(X-2)
....
.....
X.(X-1).(X-2).........(X-n+1)
C'est donc % à cette base qu'il faut travailler !!
A+ LHASSANE