IR

soit a et b deux réels tq a<b.
monter qu'il existe x appartient à ]0,1[ tq quelque soit n entier naturel, on a: 0<x^n<b-a.

En déduire par suite l'existence d'un entier m tq: a<m.x^n<b.

je sais que je sais rien a écrit:

soit a et b deux réels tq a<b.
monter qu'il existe x appartient à ]0,1[ tq quelque soit n entier naturel, on a: 0<x^n<b-a.

BSR <<je sais que je sais rien >> !!!
Il y a un Bug dans ton énoncé !!
Pour n=0 alors x^n=1 et donc il serait souhaitable que b-a soit > 1
Ceci réalisé , alors pour tout x arbitrairement choisi dans ]0;1[ , la suite {xn}n est strictement décroissante donc trivialement , on aurait : pour tout n dans IN , 0<x^n<x^0=1<b-a .
Enoncé à revoir donc !!!!
A+ LHASSANE

désolé : n entier naturel non NUL.

BJR << JSQJSR >>
Alors là , c'est facile !!
Prendre x= (1/2)Min{1 ; b-a}
On a x<=1/2 et x<=(1/2).(b-a) donc au total 0<x<1
puis la suite {x^n}n strictement décroissante , donc
pour tout n dans IN* 0<x^n=<x<b-a .
A+ LHASSANE

vous pouvez refaire l'exo mais avec : pour tout x.

x de ]0 ,1[

je sais que je sais rien a écrit:

vous pouvez refaire l'exo mais avec : pour tout x.

Cela ne peut pas fonctionner avec par exemple x>1 car la suite {x^n}n
diverge ( de limite +oo ) et on ne saurait la BORNER
encore moins par (b-a)!!!
Je pense que le sujet est épuisé !!!
A+ LHASSANE

vous pouvez refaire l'exo mais avec : pour tout x de ]0 ,1[.

je sais que je sais rien a écrit:

vous pouvez refaire l'exo mais avec : pour tout x de ]0 ,1[.

BJR << JSQJSR >>
Alors là , il est nécessaire d'imposer que b-a >=1 auquel cas le résultat est VRAI !!!
Sinon , point de salut !!!
A+ LHASSANE

Refaire l'exo avec l'énoncé suivant:
soit a et b deux réels tq a<b.
monter que pour tout x de ]0 ,1[. il existe un entier naturel n tq : 0<x^n<b-a.

je sais que je sais rien a écrit:

Refaire l'exo avec l'énoncé suivant:
soit a et b deux réels tq a<b.
monter que pour tout x de ]0 ,1[. il existe un entier naturel n tq : 0<x^n<b-a.

pour b-a>= 1 c trivial (densité de R dans R)

pour 0 < b-a < 1

soit x de ]0;1[ , on sais que lim x^n = 0
n->+00

donc il existe un certain rend de n tel que x^n < b-a

=> x^(n+1) < b-a

donc dans ce cas il existe une infinité de ni tel que 0 < x^(ni) < b-a

@ << JSQJSR >> !!!
Cela m'amuse ton style de Colleur-Classes Prépas!!!
Je fais des Maths pour mon plaisir et je n'ai pas de CONCOURS à passer..
Je ne veux pas jouer ton JEU subtil et malin !!!
Pour tout x dans ]0;1[ la suite {x^n}n est CONVERGENTE et de limite NULLE .
Prendre EPSILON =(b-a)/2 et appliquer la Définition de la limite , il existera un rang No à partir duquel 0<x^n=<EPSILON <b-a
Il existe Machi Ghir un entier n mais une INFINITE d'entiers ( tous ceux qui sont >=No ) pour lesquels on a ce qu'il faut !!!
Tchao Petit !!!

Merci Conan !!! C'est juste !!!
On a posté en même temps !!!
A+ LHASSANE