reccurence

soit x la solution de l'equation a+ 1/a = 3
(x>1)
on a quelque soit n de N* :
x^n+1 + 1/x^n+1 = 3(x^n + 1/x^n) - ( x^n-1 + 1/x^n-1)

montrez par reccurence que : quelque soit n de N* x^n +1/x^n aparatient a l'ensemble N

pour n=1 c'est juste
on suppose que
x^(n+1)1/x^(n+1)=3(x^n+1/x^n)-(x^(n-1)+1/x^(n-1) donc
x^(n+1)1/x^(n+1)(x+1/x)=x^(n+2)+1/x^(n+2)+1/x^n+x^n=
3(x^n+1/x^n)(x+1/x)-(x^(n-1)+1/x^(n-1)(x+1/x)=
3(x^(n+1)+1/(x^(n+1))+3(x^(n-1)+1/x^(n-1))-3(x^(n-1+1/(x^(n-1)=3(x^(n+1)+1/x^(n+1))=>
x^(n+2)+1/x^(n+2)=3(x^(n+1)+1/x^(n+1))-x^n+1/x^n d'ou la resultat

mais la question c montrz que x^n +1/x^n apartienta N

ah oui aussi avec recurence
on a pour 1 est juste
donc on supose qu'il est juste pour n-1 et n ( remarque pour demontre à la justuse des pormule p(n) avec la recurence vous pouvez supose que p(n) et p(n-1)...p(0) sont juste)
donc (x^(n)+1/x^(n) et (x^(n-1)+1/x^(n-1)) appartient en N donc il ne reste que demontre que
3(x^n + 1/x^n) - ( x^n-1 + 1/x^n-1)>0 on a x^(n)>x^(n-1) x^n>1/x^(n-1)si x>1 et si x<1 donc 1/x^n>1/x^(n-1)>1>x^(n-1) d'ou le resulta