equation fonctionnelle

determiner tous les fonction continues de R->R tel que :

f((x+y)/2) = [ f(x)+f(y)]/2

bjr
probléme trés conu
les fonctions affines!
et si je trompes pas ; il est déja posté

we c la fonction de Jensen qui, apres une substitution devient la fonction de cauchy!!

wiles a écrit:

we c la fonction de Jensen qui, apres une substitution devient la fonction de cauchy!!

tu peux mieu detailler Wiles

si on prend y=0 dans l'equation initiala on aura f(x/2)=f(x)/2
alors l'equation devient f(x/2+y/2)=f(x/2)+f(y/2)
on pose X=x/2 et Y=y/2
on aura alors f(X+Y)=f(X)+f(Y) qui est l'equation de cauchy qui a pour solution continues les fonctions affines

wiles a écrit:

si on prend y=0 dans l'equation initiala on aura f(x/2)=f(x)/2
alors l'equation devient f(x/2+y/2)=f(x/2)+f(y/2)
on pose X=x/2 et Y=y/2
on aura alors f(X+Y)=f(X)+f(Y) qui est l'equation de cauchy qui a pour solution continues les fonctions affines

qui ta dis que f(0) = 0 ?

ca ne se voit pas nn? prend x=y=0 tu trouvera f(0)=0
mais c'est du calcul mon vieux!!

wiles a écrit:

ca ne se voit pas nn? prend x=y=0 tu trouvera f(0)=0
mais c'est du calcul mon vieux!!

je ne crois pas Wiles , regarde bien t calcules !

on a f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2

si tu remplace : x=y=0 dis moi que tu ne trouvera pas : f(0) = f(0)

we ok t'a raison (zerba o safi) ds
mais on peut remedier a ca facilement
f(x/2)=f(x)/2+f(0)/2
f(x/2+y/2)=f(x/2)+f(y/2)-f(0)
(f(X+Y)-f(0))=(f(X)-f(0))+(f(Y)-f(0))
on pose g(x)=f(x)-f(0)
alors g(x+y)=g(x)+g(y) avec g continue
aors g(x)=ax
f(x)=ax+b
desole encore une fois pour ma precipitation