relaion d'equivalence .

soit E un ensemble et K une partie de P(E) qui verifie:
l'ensemble vide appartient à K .
si X et Y appartient à K alors la diference symetrique de X et Y est aussi dans K (i.e: (X-Y)union(Y-X) appartient à K)
on definit une relation binaire R dans P(E) tq :si X et Y sont ds P(E) alors
XRY si et seulement si : (X-Y)union(Y-X) appartient à K.
1)montrer que R est une relation d'equivalence .
2)trouver X(barre) l'ensemble des élement Y de P(E) qui sont en relation avec X .

BJR mahmoud16 !!
DELTA = Différence Symétrique
VIDE = Ensemble vide .
1) R est d'équivalence sur P(E)
REFLEXIVITE : pour tout X de P(E) on a X DELTA X=VIDE est dans K donc X R X .
SYMETRIE : Pour tout X , Y dans P(E) si X R Y alors X DELTA Y est dans K Or Y DELTA X=X DELTA Y donc Y DELTA X est dans K aussi d'ou Y R X
TRANSITIVITE : si X,Y et Z sont dans P(E) et tels que :
X R Y et Y R Z alors X DELTA Y et Y DELTA Z sont dans K
On va utiliser :
l'associativité de l'opération DELTA et Y DELTA Y = VIDE
pour écrire :
X DELTA Z=(X DELTA VIDE ) DELTA Z
=X DELTA ( Y DELTA Y) DELTA Z
=( X DELTA Y) DELTA ( Y DELTA Z)
et cet ensemble est dans K puisque X DELTA Y et Y DELTA Z sont dans K.

2) Classe de (X) lorsque X est dans P(E) ???
Il faudra résoudre pour chaque élément H de K , l'équation :
X DELTA Z=H ou Z est l'inconnue .
Problème posé , j'ai la flemme de continuer .....
A+ LHASSANE

Je suis de retour !!!
2) Classe de (X) lorsque X est dans P(E) ???
Il faudra résoudre pour chaque élément H de K , l'équation :
X DELTA Z=H ou Z est l'inconnue .

On aura :
H DELTA ( X DELTA Z)=H DELTA H=VIDE soit
( H DELTA X) DELTA Z =VIDE par Associativité de DELTA
Enfin , un argument plus sophistiqué :
Tout élément de P(E) est REGULIER pour l'opération DELTA
( H DELTA X) DELTA Z =VIDE
Z DELTA Z=VIDE
Ces deux relations entrainent que Z= H DELTA X
Voir le lien suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rations_sur_les_ensembles#Propri.C3.A9t.C3.A9s_7
( Propriété DS5 )
Par conséquent :
Classe de X ={ X DELTA H ; H décrivant P(K) }
A+ LHASSANE