Déterminer l'angle APD

L'Exercice 2 proposé aux olympiades français 2006 Créteil
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.

Déterminer l'angle

Bonjour;
Notations:
AB=a,d(P,(AB))=h,d(P,(AD))=k et x=angle(APD)
Données:
h²+k²=16,h²+(a-k)²=36,(a-h)²+k²=4
Résolution:
h=(a²+12)/2a , k=(a²-20)/2a , a^4-40a²+272=0
a²=20+8Racine(2) car a²>20 (k>0)
PA.PD.sin(x)=k.a=2Aire(APD)
sin(x)=Racine(2)/2
x=3Pi/4 car x>Pi/2 (sauf erreur)

Bonus : calculer la distance PC ...

Dans le triangle APD on connait l'angle APD et les deux côtés AP et PD alors on connait le côté du carré AD et l'angle PAD. Par suite , dans le triangle DPC on connaît deux côtés et un angle alors il est facile de déterminer l'autre côté par Al Kashi par exemple

Bonjour bel_jad et abdelbaki;
Notations:
l=d(P,(BD)) , y=PC et Q symétrique de P par rapport à (BD)
Résolution:
k.AD + h.AB + l.BD = aire(ABCD)
(k + h + l.Racine(2)) = a
l = 4/a
A , P , Q et C cocycliques (facile)
y² = 16 + 2l.a.Racine(2) (Ptolémé)
y = Racine(16+8Racine(2)) (=) 5.226 (sauf erreur)

Bonjour,

bel_jad5 a écrit:

Bonus : calculer la distance PC ...

Celui-là peut se faire directement :
Si j'appelle M la projection de P sur DC et N la projection de P sur DA :

EQ1 : DN^2 + DM^2 = 4
EQ2: AN^2 + DM^2 = 16
EQ3 : AN^2 + CM^2 = 36

EQ1 - EQ2 + EQ3: DN^2 + CM^2 = 24 = PC^2

PC = 2racine(6) (=) 4,9

--
Patrick

Hello Elhor,

elhor_abdelali a écrit:

(k + h + l.Racine(2)) = a
l = 4/a (sauf erreur)

Aïe : I.Racine(2) = 4/a

elhor_abdelali a écrit:

y² = 16 + 2l.a.Racine(2)

Et donc y^2 = 24 et y = 2racine(6)

Méthode originale !

--
Patrick

Effectivement pco c'est une erreur de calcul

Salam, bonjour,

le carré est une forme particulière que l'on ne rencontre pas souvent. Il est sûr que les égalités posées peuvent mener à cela; c'est surtout pour ne pas laisser passer une formule:

En effet AP² + CP² et BP² + DP² sont des quantités égales.
salam

chaque fois j essaye de faire des rappels , par exemple la , c était la fameuse relation AP² + CP² = BP² + DP²

chaque fois j essaye de faire des rappels , par exemple la , c était la fameuse relation AP² + CP² = BP² + DP²