exo olympiens

badr_210 a écrit:

MONTREZ QUE pour tout n de N on a :
1^3 +2^3 +3^3+......+n^3 =(1+2+3+......+n)²
sans réccurence ***

euuuh...avec les polynomes ca devrait passer!!!

BOURBAKI a écrit:

Bonsoir à Tous et Toutes !!!
Pour calculer S1=1+2+3+……….+n
On utilise le polynome P1(X)=(1+X)^2
On a (*) (1+X)^2 - X^2=2.X+1
Dans la relation (*) ,on donne à X les valeurs 0,1,2,..........,n et on fait la somme membre à membre des (n+1) égalités et on obtiendra :
(1+n)^2=2.S1+(n+1) d’ou S1=……
Pour le calcul de S2=1^2+2^2+3^2+……….+n^2
Tu auras besoin du polynome P2(X)=(1+X)^3
On a (**) (1+X)^3 – X^3=3.X^2 + 3.X+1 .On fait encore comme précédemment et on obtiendra la relation :
(1+n)^3=3.S2+3.S1+(n+1)
Il ne reste plus qu’à terminer les calculs pour obtenir S2.
La méthode est généralisable .
LHASSANE

Je l'ai trouvé dans un topic et j'ai copié directement Le contenu

MERCI Omar !!!!
Tu es un Brave !!!!
A+ Oeil_de_Lynx -- BOURBAKI -- LHASSANE

badr_210 a écrit:

sans réccurence

Bon, alors n^3 = (n(n+1)/2)^2 - ((n-1)n/2)^2 donc on a une somme télescopique et Sum i = Sum (i(i+1)/2) - ((i-1)i/2) = n(n+1)/2