démonstration: un isomorphisme de groupes

bonsoir,

je veux démontrer que tout groupe G fini d'ordre n est isomorphe à F= GLn(K) (l'ensemble des matrices carrées d'ordre n inversibles à coefficients dans K, et K=R ou C), j'ai considéré une application de G dans F, j'ai voulu démontrer que c'est un isomorphisme, j'ai posé les éléments de G comme ceci {e1,e2,..,en} histoire d'écrire les choses clairement, espérant que ça me "souffle" la solution!! mais bon, rien à faire, je ne vois pas comment commencer mon idée, ni quoi prendre comme application.

j'y réfléchirais encore mais ça m'aiderais que quelqu'un me mettes dans la bonne voie.

merci d'avance

C'est etrange. Deux groupes finis sont isomorphes ont le même ordre. Quell est l'ordre de GL_n(K)?

ben justement GLn c'est les matrices carrées d'ordre n !! c'est le même que l'ordre du groupe!

j'ai déjà réussi à démontrer que tout groupe fini G d'ordre n est isomorphe à Sn (l'ensemble des bijections de {1,2,..,n} à {1,2,..,n} = ça contient les permutations et les transpositions, je ne sais pas si c'est clair??)

il a suffit de prendre une application de G dans Sn et de montrer que c'est un isomorphisme (par exemple l'automorphisme intérieur!)

mon problème en fait c'est de trouver l'isomorphisme de G dans GLn[K]

c'est quoi ta définition d'isomorphisme ?

Salam
je pense que n'importe quel groupe d'ordre n, ne peut pas être ismorphe à Sn, car ils auront le même ordre, par contre l'ordre de Sn est (n!)???

Il ya beaucoup de confusion dans ces messages...

Go Morocco a raison : l'ordre de S_n est (n!), donc S_n n'est pas isomorphe à un groupe fini d'ordre n, sauf si n=1, 2 (cas triviaux)

C'est le même genre de confusion pour GL_n(K) : ici n n'est pas l'ordre du groupe, mais la taille des matrices ....

Si K= |R ou |C, GL_n(K) n'est pas un groupe fini, et ne peut donc en aucun cas etre isomorphe à un groupe fini. Pour s'en persuader, il suffit de voir qu'il existe un monomorphisme (cad homomorphisme injectif)
du groupe mutilplicatif K^* vers GL_n(K), qui envoie x vers la matrice diagonale formée des coefficients x,1,1....1.

Si K est corps fini, alors cette fois ci GL_n(K) est un groupe fini. Mais, sauf exception, son ordre est différent de n.

Bonjour,

J'ai l'impression que toutes ses confusions viennent de deux termes "mathématiques " malheureux :

a) "ordre d'un groupe" --> confusion avec ordre des éléments, je préfère employé le non-équivoque "cardinal du groupe"

b) isomorphisme : là je me suis déjà fait avoir , en Anglais les "isomorphism" sont injectifs mais pas toujours surjectif .

lolo

Je m'insurge !

En anglais, il y a 3 termes distincts :
- monomorphism ( pour les morphismes injectifs )
- epimorphism ( pour les morphismes surjectifs )
- isormophism ( pour les morphismes bijectifs )

Un " isomorphism " désigne toujours un morphisme bijectif !

lolo a écrit:

b) isomorphisme : là je me suis déjà fait avoir , en Anglais les "isomorphism" sont injectifs mais pas toujours surjectif .lolo

Are you really sure lo² ?
http://mathworld.wolfram.com/Isomorphism.html


Quant à épi/mono (à l'origine simplifiable à gauche/droite) c'est pareil de surjectif/injectif dans plein de cas mais y'a des catégories où c'est faux, je crois bien (j'en suis sûr en faîte).


2•tµ

Oui, je suis resté dans le cadre algébrique.

La signification de ces termes en théorie des catégories est (un petit peu) plus alambiquée, et revient à celle que j'ai indiquée quand on travaille dans la catégorie des groupes, anneaux, etc.....